Praktikumsprotokoll Kreisel

Dieses Praktikumsprotokoll entstand während meines Physikstudiums im Rahmen des Moduls C-Praktikum. Es wurde von meinem Praktikumspartner und mir erstellt, wobei mein Kommilitone nicht namentlich genannt werden möchte. Das Protokoll wurde zwar testiert, es können sich allerdings dennoch inhaltliche oder grammatikalische Fehler darin befinden. Sollte jemand solche Fehler finden, wäre ich froh wenn er sie mir mitteilt.

Kreisel

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1. Grundlagen

1.1. Trägheitsmoment und Kreiselarten

1.2. Drehmoment

1.3. Drehmoment schwerer Kreisel

2. Auswertung

2.1. Bestimmung des Verhältnis aus Kreisfrequenz der Nutation und Rotation

2.2. Bewegung eines schweren Kreisels

2.3. Bestimmung des Trägheitsmoments um die Figurenachse

2.4. Bestimmung des Trägheitsmoments senkrecht zur Figurenachse

3. Diskussion

4. Zusammenfassung

Quellenverzeichnis

Messprotokoll

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Verhältnis aus Kreisfrequenz der Nutation und Rotation

Tabelle 2: Trägheitsmoment des Kreisels

1. Grundlagen

1.1. Trägheitsmoment und Kreiselarten

Das Ziel des Versuches ist es, sich mit den verschiedenen Kreiselarten und den damit verbundenen Bewegungsabläufen, sowie sich mit einigen Grundlagen, wie beispielsweise dem Drehimpuls oder dem Drehmoment, auseinanderzusetzen. Der Kreisel ist ein fester und starrer Körper, welcher sich um freie Achsen drehen kann und dadurch nicht auf eine spezielle feste Achse beschränkt ist. Das bei dieser Rotation auftretende Trägheitsmoment J ist dabei definiert als der Widerstand eines starren Körpers, gegenüber seiner Rotationsbewegung. Wenn man nun den Körper als viele einzelne Massepunkte  betrachtet, welche sich um eine feste Achse, die durch den Körperschwerpunkt geht, bewegen, so lässt sich das Trägheitsmoment mit der folgenden Gleichung berechnen:

  (1.1.1)

wobei r für den Abstand zur Drehachse steht. Daraus folgt, dass das Trägheitsmoment immer Bezug auf eine Drehachse und deren Lage innerhalb des entsprechenden Körpers nimmt. Wenn nun also der Kreisel um eine Achse rotiert, welche parallel zur Schwerpunktachse liegt, dann kann man das Trägheitsmoment  mittels des steinerschen Satzes ermitteln:

        (1.1.2)

dabei steht  für das Massenträgheitsmoment in Bezug auf einer zu x parallelen Achse durch den Schwerpunkt, m für die Körpermasse und  für den Abstand der Achse x zum Schwerpunkt S. Weiterhin ist es möglich, dass die Bewegung des Körpers nicht auf eine einzige Achse beschränkt ist, sondern in mehreren Raumrichtungen erfolgt. Möchte man nun dazu das dazugehörige Trägheitsmoment ermitteln, muss man es als Matrix betrachten:

(1.1.3)

Das ganze kann vereinfacht werden, indem man das Koordinatensystem so legt, dass die einzelnen Koordinatenachsen mit den jeweiligen Hauptträgheitsachsen übereinstimmen:

          (1.1.4)

Dabei werden die Trägheitsmomente ,  und  als Hauptträgheitsmoment bezeichnet, da sie um die Hauptachsen rotieren. Meistens gilt dabei:

     (1.1.5)

Dadurch lässt sich der Kreisel auch in drei unterschiedliche Kategorien einteilen. Sind alle drei Werte gleich groß, dann handelt es sich um einen sphärischen Kreisel. Wenn nur zwei von ihnen denselben Wert besitzen, dann ist es ein symmetrischer Kreisel. Und wenn die Werte alle voneinander verschieden sind, nennt man dies einen asymmetrischen Kreisel.

1.2. Drehmoment

Sobald kein äußeres Drehmoment  mehr auf den Kreisel wirkt, gilt er als kräftefrei. Berechnet wird das Drehmoment mit der Formel:

    (1.2.1)

dabei entspricht  der wirkenden Kraft und  dem Abstand zum Schwerpunkt. Alternativ kann man es auch errechnen durch die Ableitung des Drehimpulses  nach der Zeit:

          (1.2.2)

Mittels Gleichung (1.1.4) kann man das Drehmoment in einem rotierenden Bezugsystem berechnen über die Gleichung:

   (1.2.3)

wobei  für die Winkelgeschwindigkeit steht. Der Drehimpuls selbst ist vergleichbar mit dem Impuls bei einer gradlinigen Bewegung und wird meistens folgendermaßen dargestellt:

       (1.2.4)

         (1.2.5)

hierbei steht  für den Impuls. Setzt man jetzt in Gleichung (1.2.5), für das Trägheitsmoment die Gleichung (1.1.4) und für die Winkelgeschwindigkeit  ein, dann erhält man die Formel:

         (1.2.6)

Dieses Ergebnis kann man anschließend direkt in (1.2.3) einsetzen und erhält so die sogenannten Eulerschen Gleichungen:

    (1.2.7)

Welche die Bewegungen eines Kreisel beschreiben können.

         (1.2.8)

Wenn man sich jetzt ausschließlich  anschaut, dann wird direkt deutlich, dass  sein muss und dadurch  konstant ist. Weiterhin gilt für :

       (1.2.9)

Analog dazu kann man so auch die Formel für  aufstellen:

       (1.2.10)

Weiterhin existiert die sogenannte Nutationsfrequenz , welche die Bewegung eines kräftefreien Kreisels beschreibt, siehe auch Abbildung 1, und bestimmt wird durch die Formel:

            (1.2.11)

Des Weiteren erhält man dadurch die Gleichung:

        (1.2.12)

Wenn man nun das Verhältnis aus der Kreisfrequenz der Rotation und der Nutationsfrequenz um die Figurenachse:

(1.2.13)

setzt, dann bekommt man durch das Umstellen von 1.2.11 und durch das um die Figurenachse wirkende Trägheitsmoment  die Formel:

           (1.2.13)

mit der man das senkrecht zur Figurenachse wirkende Trägheitsmoment

1.3. Drehmoment schwerer Kreisel

Es ist auch möglich, dass das Drehmoment dauerhaft auf den Körper wirkt, man nennt dies dann auch schwerer Kreisel, und dadurch der Drehimpuls nicht mehr raumfest ist, sondern seine Richtung und Größe sich während der Rotation ändert. Dadurch ändert sich auch die Gleichung zur Berechnung des Drehmoment zu:

           (1.3.1)

wobei g für die Erdanziehung und d für den Abstand zum Auflagepunkt steht. Betrachtet man nun allerdings nur eine infinitesimale Drehimpulsänderung, dann bekommt man dadurch die Gleichung:

           (1.3.2)

Außerdem gilt für den Winkel, um den sich die Achse des Drehimpulses rotiert, die Formel:

      (1.3.3)

Mittels der Präzessionsgeschwindigkeit:

          (1.3.4)

erhält man dann:

(1.3.5)

Setzt man nun:

       (1.3.6)

ein und stellt nach  um, so erhält man die Gleichung:

   (1.3.7)

bei der  und  für die Anzahl der Umdrehungen steht.

2. Durchführung und Auswertung

2.1. Bestimmung des Verhältnis aus Kreisfrequenz der Nutation und Rotation

^{Tabelle 1: Verhältnis aus Kreisfrequenz der Nutation und Rotation}

Im ersten Versuchsteil wurde ein kräftefreier Kreisel aufgebaut. Dieser wurde in Rotation versetzt und durch einen Stoß zu einer Nutationsbewegung gebracht. Dann wurde die Anzahl der Umdrehungen des Kreisels um seine Figurenachse und um den Nutationskegel, sowie die dazugehörigen Zeiten mit einer Stoppuhr gemessen, wobei der Fehler für die Reaktionszeit mit 0,3 s angenommen wird. Mit Formel (1.2.13) und (1.3.6) wird nun das Verhältnis der Frequenzen berechnet.

Die Rechnung erfolgt beispielhaft für die erste Messung.

Die Rechnungen für die anderen Messungen erfolgten analog.

Nun wird für  der Mittelwert zu  gebildet, die Standardabweichung des Mittelwerts mit

Berechnet und für den Gesamtfehler zur zweifachen Standardabweichung der größte Wert von  addiert, sodass sich ein Gesamtwert ergibt von:

2.2. Bewegung eines schweren Kreisels

Im zweiten Versuchsteils wurde der kräftefreie Kreisel entlang der Stange verschoben, sodass ein er zu einem schweren Kreisel wurde. Wurde der Kreisel in Rotation versetzt, so konnte eine Präzessionsbewegung beobachtet werden. Wurde der Kreisel nach oben verschoben folgte die Präzessionsbewegung der Drehrichtung des Kreisels, wohingegen die Präzessionsbewegung entgegen der Drehrichtung des Kreisels erfolgte, wenn dieser nach unten verschoben wurde. Wurde der schwere Kreisel, wie der kräftefreie Kreisel im ersten Versuchsteil, angestoßen so trat zusätzlich noch eine Nutationsbewegung auf. Überlagert ergaben beide Bewegungen eine spiralartige Bewegung entlang des Präzessionskegels, wobei die Nutationsbewegung immer der Drehrichtung des Kreisels folgte.

2.3. Bestimmung des Trägheitsmoments um die Figurenachse

Im dritten Versuchsteil wurde der Kreisel mit seiner Figurenachse horizontal um eine vertikal drehbare Achse befestigt und durch ein Ausgleichsgewicht in eine Gleichgewichtslage gebracht. Anschließend wurde ein Zusatzgewicht, dessen Masse mit einer Waage zu  bestimmt wurde, in fünf verschiedenen Abständen l zur Drehachse angebracht, wobei der Abstand jeweils mit einem Metermaß bis auf einen Fehler von 0,5 mm bestimmt wurde. Wurde der Kreisel nun in Rotation versetzt,

so führte er eine Präzessionsbewegung aus. Es wurde die Zeit  gemessen, die für eine Umdrehung der Präzessionsbewegung  benötigt wurde, sowie die Anzahl der Umdrehungen um die Figurenachse   in der Zeit . Mit  für die Erdbeschleunigung in Kassel und der Formel (1.3.7), mit , kann nun das Trägheitsmoment des Kreisels  um seine Figurenachse berechnet werden. Für den Fehler von  gilt:

Die Rechnung wird hier nur für die erste Messung gezeigt, für alle anderen Messungen erfolgt die Rechnung analog.

Der Mittelwert, sowie die Standardabweichung und Gesamtfehler von  werden analog zu  aus Abschnitt 2.1 berechnet, wodurch sich folgender Wert ergibt:

2.4. Bestimmung des Trägheitsmoments senkrecht zur Figurenachse

Da nun das Trägheitsmoment des Kreisels um seine Figurenachse bekannt ist, kann das Trägheitsmoment des Kreisels senkrecht zur Figurenachse durch Formel (1.2.13) berechnet werden.

3. Diskussion

Für diesen Versuch liegen keine Literaturwerte zum Vergleich vor, da die Werte von der genauen Geometrie und Massenverteilung des Körpers abhängen, allerdings ist der Wert von  größer als , was typisch für oblate Kreisel ist. Mögliche Fehlerquellen bei diesem Versuch sind, dass der Kreisel bereits sehr abgenutzt ausgesehen hat und eventuell Unregelmäßigkeiten aufweist, sowie die hohe Frequenz der Rotation und schnelle Dämpfung der Nutation es erschwerten die Anzahl der Umdrehungen zu zählen, sodass eventuell nicht alle Umdrehungen richtig gezählt wurden. Außerdem traten bei dem schweren Kreisel kleine Schwingungen auf und die Geschwindigkeit der Präzessionsbewegung nahm innerhalb einer Umdrehung bereits merklich ab.

4. Zusammenfassung

In diesem Versuch wurde das Verhältnis der Kreisfrequenz der Nutation  und der Kreisfrequenz der Rotation um die Figurenachse  des kräftefreien Kreisels bestimmt zu

,

sowie das Trägheitsmoment um die Figurenachse  und das Trägheitsmoment senkrecht zur Figurenachse  des schweren Kreisels bestimmt zu

Quellenverzeichnis

1. Crockett, C. (25. Mai 2015). christophercrockett. Abgerufen am 25. Mai 2015 von christophercrockett: http://christophercrockett.com/astrowow/obliquity/
2. Demtröder, W. (2013). Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme (6., neu bearbeitete und aktualisierte Ausg.). Springer-Verlag.
3. Fischer, U., Gomeringer, R., Heinzler, M., Kilgus, R., Näher, F., Oesterle, S., et al. (2008). Tabellenbuch Metall (44., neu bearbeitete Ausg.). Haan-Gruiten: EUROPA LEHRMITTEL.
4. Hohenstein, J., Ignatowitz, E., Köhler, D., Köhler, F., Mahr, G., Pahl, H.-J., et al. (2007). Tabellenbuch für Metallbautechnik (5. erweiterte Ausg.). Haan-Gruiten: EUROPA LEHRMITTEL.
5. Kuchling, H. (2014). Taschenbuch der Physik (21. Ausg.). München: Carl Hanser Verlag.
6. Tipler, P. A., & Mosca, G. (2009). Physik (6. Ausg.). Springer-Verlag.