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Praktikumsprotokoll Kreisel

Von Honki Tonk , 26 MĂ€rz 2016
Artikel
Wissenschaftliche Artikel

Dieses Praktikumsprotokoll entstand wÀhrend meines Physikstudiums im Rahmen des Moduls C-Praktikum. Es wurde von meinem Praktikumspartner und mir erstellt, wobei mein Kommilitone nicht namentlich genannt werden möchte. Das Protokoll wurde zwar testiert, es können sich allerdings dennoch inhaltliche oder grammatikalische Fehler darin befinden. Sollte jemand solche Fehler finden, wÀre ich froh wenn er sie mir mitteilt.

 

Kreisel

 

Inhaltsverzeichnis

 

Tabellenverzeichnis

1. Grundlagen

1.1. TrÀgheitsmoment und Kreiselarten

1.2. Drehmoment

1.3. Drehmoment schwerer Kreisel

2. Auswertung

2.1. Bestimmung des VerhÀltnis aus Kreisfrequenz der Nutation und Rotation

2.2. Bewegung eines schweren Kreisels

2.3. Bestimmung des TrÀgheitsmoments um die Figurenachse

2.4. Bestimmung des TrÀgheitsmoments senkrecht zur Figurenachse

3. Diskussion

4. Zusammenfassung

Quellenverzeichnis

Messprotokoll

 

Tabellenverzeichnis

 

Tabelle 1: VerhÀltnis aus Kreisfrequenz der Nutation und Rotation

Tabelle 2: TrÀgheitsmoment des Kreisels

 

1. Grundlagen

 

1.1. TrÀgheitsmoment und Kreiselarten

 

Das Ziel des Versuches ist es, sich mit den verschiedenen Kreiselarten und den damit verbundenen BewegungsablĂ€ufen, sowie sich mit einigen Grundlagen, wie beispielsweise dem Drehimpuls oder dem Drehmoment, auseinanderzusetzen. Der Kreisel ist ein fester und starrer Körper, welcher sich um freie Achsen drehen kann und dadurch nicht auf eine spezielle feste Achse beschrĂ€nkt ist. Das bei dieser Rotation auftretende TrĂ€gheitsmoment J ist dabei definiert als der Widerstand eines starren Körpers, gegenĂŒber seiner Rotationsbewegung. Wenn man nun den Körper als viele einzelne Massepunkte  betrachtet, welche sich um eine feste Achse, die durch den Körperschwerpunkt geht, bewegen, so lĂ€sst sich das TrĂ€gheitsmoment mit der folgenden Gleichung berechnen:

  (1.1.1)

wobei r fĂŒr den Abstand zur Drehachse steht. Daraus folgt, dass das TrĂ€gheitsmoment immer Bezug auf eine Drehachse und deren Lage innerhalb des entsprechenden Körpers nimmt. Wenn nun also der Kreisel um eine Achse rotiert, welche parallel zur Schwerpunktachse liegt, dann kann man das TrĂ€gheitsmoment  mittels des steinerschen Satzes ermitteln:

        (1.1.2)

dabei steht  fĂŒr das MassentrĂ€gheitsmoment in Bezug auf einer zu x parallelen Achse durch den Schwerpunkt, m fĂŒr die Körpermasse und  fĂŒr den Abstand der Achse x zum Schwerpunkt S. Weiterhin ist es möglich, dass die Bewegung des Körpers nicht auf eine einzige Achse beschrĂ€nkt ist, sondern in mehreren Raumrichtungen erfolgt. Möchte man nun dazu das dazugehörige TrĂ€gheitsmoment ermitteln, muss man es als Matrix betrachten:

(1.1.3)

Das ganze kann vereinfacht werden, indem man das Koordinatensystem so legt, dass die einzelnen Koordinatenachsen mit den jeweiligen HaupttrĂ€gheitsachsen ĂŒbereinstimmen:

          (1.1.4)

Dabei werden die TrĂ€gheitsmomente ,  und  als HaupttrĂ€gheitsmoment bezeichnet, da sie um die Hauptachsen rotieren. Meistens gilt dabei:

     (1.1.5)

Dadurch lĂ€sst sich der Kreisel auch in drei unterschiedliche Kategorien einteilen. Sind alle drei Werte gleich groß, dann handelt es sich um einen sphĂ€rischen Kreisel. Wenn nur zwei von ihnen denselben Wert besitzen, dann ist es ein symmetrischer Kreisel. Und wenn die Werte alle voneinander verschieden sind, nennt man dies einen asymmetrischen Kreisel.

 

1.2. Drehmoment

 

Sobald kein Ă€ußeres Drehmoment  mehr auf den Kreisel wirkt, gilt er als krĂ€ftefrei. Berechnet wird das Drehmoment mit der Formel:

    (1.2.1)

dabei entspricht  der wirkenden Kraft und  dem Abstand zum Schwerpunkt. Alternativ kann man es auch errechnen durch die Ableitung des Drehimpulses  nach der Zeit:

          (1.2.2)

Mittels Gleichung (1.1.4) kann man das Drehmoment in einem rotierenden Bezugsystem berechnen ĂŒber die Gleichung:

   (1.2.3)

wobei  fĂŒr die Winkelgeschwindigkeit steht. Der Drehimpuls selbst ist vergleichbar mit dem Impuls bei einer gradlinigen Bewegung und wird meistens folgendermaßen dargestellt:

       (1.2.4)

         (1.2.5)

hierbei steht  fĂŒr den Impuls. Setzt man jetzt in Gleichung (1.2.5), fĂŒr das TrĂ€gheitsmoment die Gleichung (1.1.4) und fĂŒr die Winkelgeschwindigkeit  ein, dann erhĂ€lt man die Formel:

         (1.2.6)

Dieses Ergebnis kann man anschließend direkt in (1.2.3) einsetzen und erhĂ€lt so die sogenannten Eulerschen Gleichungen:

    (1.2.7)

Welche die Bewegungen eines Kreisel beschreiben können.

         (1.2.8)

Wenn man sich jetzt ausschließlich  anschaut, dann wird direkt deutlich, dass  sein muss und dadurch  konstant ist. Weiterhin gilt fĂŒr :

       (1.2.9)

Analog dazu kann man so auch die Formel fĂŒr  aufstellen:

       (1.2.10)

Weiterhin existiert die sogenannte Nutationsfrequenz , welche die Bewegung eines krÀftefreien Kreisels beschreibt, siehe auch Abbildung 1, und bestimmt wird durch die Formel:

            (1.2.11)

Des Weiteren erhÀlt man dadurch die Gleichung:

        (1.2.12)

Wenn man nun das VerhÀltnis aus der Kreisfrequenz der Rotation und der Nutationsfrequenz um die Figurenachse:

(1.2.13)

setzt, dann bekommt man durch das Umstellen von 1.2.11 und durch das um die Figurenachse wirkende TrĂ€gheitsmoment  die Formel:

           (1.2.13)

mit der man das senkrecht zur Figurenachse wirkende TrÀgheitsmoment

 

1.3. Drehmoment schwerer Kreisel

 

Es ist auch möglich, dass das Drehmoment dauerhaft auf den Körper wirkt, man nennt dies dann auch schwerer Kreisel, und dadurch der Drehimpuls nicht mehr raumfest ist, sondern seine Richtung und GrĂ¶ĂŸe sich wĂ€hrend der Rotation Ă€ndert. Dadurch Ă€ndert sich auch die Gleichung zur Berechnung des Drehmoment zu:

           (1.3.1)

wobei g fĂŒr die Erdanziehung und d fĂŒr den Abstand zum Auflagepunkt steht. Betrachtet man nun allerdings nur eine infinitesimale DrehimpulsĂ€nderung, dann bekommt man dadurch die Gleichung:

           (1.3.2)

Außerdem gilt fĂŒr den Winkel, um den sich die Achse des Drehimpulses rotiert, die Formel:

      (1.3.3)

Mittels der PrÀzessionsgeschwindigkeit:

          (1.3.4)

erhÀlt man dann:

(1.3.5)

Setzt man nun:

       (1.3.6)

ein und stellt nach  um, so erhĂ€lt man die Gleichung:

   (1.3.7)

bei der  und  fĂŒr die Anzahl der Umdrehungen steht.

 

2. DurchfĂŒhrung und Auswertung

 

2.1. Bestimmung des VerhÀltnis aus Kreisfrequenz der Nutation und Rotation

 

Messung

 

1

1,05 ± 0,12

2

1,04 ± 0,08

3

0,95 ± 0,05

4

0,96 ± 0,07

5

1,01 ± 0,08

6

1,00 ± 0,07

7

1,06 ± 0,10

8

1,02 ± 0,08

9

1,02 ± 0,06

10

1,07 ± 0,10

11

1,09 ± 0,09

12

1,01 ± 0,07

13

1,04 ± 0,11

14

1,10 ± 0,09

15

1,03 ± 0,10

Tabelle 1: VerhÀltnis aus Kreisfrequenz der Nutation und Rotation

Im ersten Versuchsteil wurde ein krĂ€ftefreier Kreisel aufgebaut. Dieser wurde in Rotation versetzt und durch einen Stoß zu einer Nutationsbewegung gebracht. Dann wurde die Anzahl der Umdrehungen des Kreisels um seine Figurenachse und um den Nutationskegel, sowie die dazugehörigen Zeiten mit einer Stoppuhr gemessen, wobei der Fehler fĂŒr die Reaktionszeit mit 0,3 s angenommen wird. Mit Formel (1.2.13) und (1.3.6) wird nun das VerhĂ€ltnis der Frequenzen berechnet.

 

Die Rechnung erfolgt beispielhaft fĂŒr die erste Messung.

 

Die Rechnungen fĂŒr die anderen Messungen erfolgten analog.

 

Nun wird fĂŒr  der Mittelwert zu  gebildet, die Standardabweichung des Mittelwerts mit

 

Berechnet und fĂŒr den Gesamtfehler zur zweifachen Standardabweichung der grĂ¶ĂŸte Wert von  addiert, sodass sich ein Gesamtwert ergibt von:

 

 

2.2. Bewegung eines schweren Kreisels

 

Im zweiten Versuchsteils wurde der krĂ€ftefreie Kreisel entlang der Stange verschoben, sodass ein er zu einem schweren Kreisel wurde. Wurde der Kreisel in Rotation versetzt, so konnte eine PrĂ€zessionsbewegung beobachtet werden. Wurde der Kreisel nach oben verschoben folgte die PrĂ€zessionsbewegung der Drehrichtung des Kreisels, wohingegen die PrĂ€zessionsbewegung entgegen der Drehrichtung des Kreisels erfolgte, wenn dieser nach unten verschoben wurde. Wurde der schwere Kreisel, wie der krĂ€ftefreie Kreisel im ersten Versuchsteil, angestoßen so trat zusĂ€tzlich noch eine Nutationsbewegung auf. Überlagert ergaben beide Bewegungen eine spiralartige Bewegung entlang des PrĂ€zessionskegels, wobei die Nutationsbewegung immer der Drehrichtung des Kreisels folgte.

 

2.3. Bestimmung des TrÀgheitsmoments um die Figurenachse

 

Im dritten Versuchsteil wurde der Kreisel mit seiner Figurenachse horizontal um eine vertikal drehbare Achse befestigt und durch ein Ausgleichsgewicht in eine Gleichgewichtslage gebracht. Anschließend wurde ein Zusatzgewicht, dessen Masse mit einer Waage zu  bestimmt wurde, in fĂŒnf verschiedenen AbstĂ€nden l zur Drehachse angebracht, wobei der Abstand jeweils mit einem Metermaß bis auf einen Fehler von 0,5 mm bestimmt wurde. Wurde der Kreisel nun in Rotation versetzt,

Messung

 in

1

0,129 ± 0,010

2

0,136 ± 0,011

3

0,105 ± 0,009

4

0,22 ± 0,02

5

0,254 ± 0,018

6

0,230 ± 0,019

7

0,219 ± 0,015

8

0,179 ± 0,014

9

0,204 ± 0,014

10

0,211 ± 0,006

11

0,198 ± 0,006

12

0,195 ± 0,008

13

0,22 ± 0,02

14

0,24 ± 0,02

15

0,34 ± 0,03

Tabelle 2: TrÀgheitsmoment des Kreisels

so fĂŒhrte er eine PrĂ€zessionsbewegung aus. Es wurde die Zeit  gemessen, die fĂŒr eine Umdrehung der PrĂ€zessionsbewegung  benötigt wurde, sowie die Anzahl der Umdrehungen um die Figurenachse   in der Zeit . Mit  fĂŒr die Erdbeschleunigung in Kassel und der Formel (1.3.7), mit , kann nun das TrĂ€gheitsmoment des Kreisels  um seine Figurenachse berechnet werden. FĂŒr den Fehler von  gilt:

 

Die Rechnung wird hier nur fĂŒr die erste Messung gezeigt, fĂŒr alle anderen Messungen erfolgt die Rechnung analog.

 

Der Mittelwert, sowie die Standardabweichung und Gesamtfehler von  werden analog zu  aus Abschnitt 2.1 berechnet, wodurch sich folgender Wert ergibt:

 

 

2.4. Bestimmung des TrÀgheitsmoments senkrecht zur Figurenachse

 

Da nun das TrÀgheitsmoment des Kreisels um seine Figurenachse bekannt ist, kann das TrÀgheitsmoment des Kreisels senkrecht zur Figurenachse durch Formel (1.2.13) berechnet werden.

 

 

3. Diskussion

 

FĂŒr diesen Versuch liegen keine Literaturwerte zum Vergleich vor, da die Werte von der genauen Geometrie und Massenverteilung des Körpers abhĂ€ngen, allerdings ist der Wert von  grĂ¶ĂŸer als , was typisch fĂŒr oblate Kreisel ist. Mögliche Fehlerquellen bei diesem Versuch sind, dass der Kreisel bereits sehr abgenutzt ausgesehen hat und eventuell UnregelmĂ€ĂŸigkeiten aufweist, sowie die hohe Frequenz der Rotation und schnelle DĂ€mpfung der Nutation es erschwerten die Anzahl der Umdrehungen zu zĂ€hlen, sodass eventuell nicht alle Umdrehungen richtig gezĂ€hlt wurden. Außerdem traten bei dem schweren Kreisel kleine Schwingungen auf und die Geschwindigkeit der PrĂ€zessionsbewegung nahm innerhalb einer Umdrehung bereits merklich ab.

 

4. Zusammenfassung

 

In diesem Versuch wurde das VerhĂ€ltnis der Kreisfrequenz der Nutation  und der Kreisfrequenz der Rotation um die Figurenachse  des krĂ€ftefreien Kreisels bestimmt zu

,

sowie das TrĂ€gheitsmoment um die Figurenachse  und das TrĂ€gheitsmoment senkrecht zur Figurenachse  des schweren Kreisels bestimmt zu

 

 

Quellenverzeichnis

 

  1. Crockett, C. (25. Mai 2015). christophercrockett. Abgerufen am 25. Mai 2015 von christophercrockett: http://christophercrockett.com/astrowow/obliquity/
  2. Demtröder, W. (2013). Experimentalphysik 1 - Mechanik und WÀrme (6., neu bearbeitete und aktualisierte Ausg.). Springer-Verlag.
  3. Fischer, U., Gomeringer, R., Heinzler, M., Kilgus, R., NĂ€her, F., Oesterle, S., et al. (2008). Tabellenbuch Metall (44., neu bearbeitete Ausg.). Haan-Gruiten: EUROPA LEHRMITTEL.
  4. Hohenstein, J., Ignatowitz, E., Köhler, D., Köhler, F., Mahr, G., Pahl, H.-J., et al. (2007). Tabellenbuch fĂŒr Metallbautechnik (5. erweiterte Ausg.). Haan-Gruiten: EUROPA LEHRMITTEL.
  5. Kuchling, H. (2014). Taschenbuch der Physik (21. Ausg.). MĂŒnchen: Carl Hanser Verlag.
  6. Tipler, P. A., & Mosca, G. (2009). Physik (6. Ausg.). Springer-Verlag.

 

Messprotokoll

 

 

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