Praktikumsprotokoll Raster-Kraft-Makroskop

Raster-Kraft-Makroskop

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1. Grundlagen

1.1. Versuchseinleitung

1.2. Schwingungsarten

1.3. Magnetfeld

1.4. Wechselwirkung

2. Auswertung

2.1. Schwingungsverhalten des Balkens

2.2. Resonanz- und Phasenverschiebungskurve

2.3. Rastern der Oberfläche

3. Diskussion

4. Zusammenfassung

Quellenverzeichnis

Messprotokoll

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Schwingfall

Abbildung 2: Kriechfall

Abbildung 3: Aperiodischer Grenzfall

Abbildung 4: Verschiebung der Resonanzfrequenz

Abbildung 5: Resonanzkurve

Abbildung 6: Phasenverschiebung

Abbildung 7: Grafische Darstellung der Phasendifferenz über die Oberfläche

Abbildung 8: Grafische Darstellung der Amplitude über die Oberfläche

Abbildung 9: Grafische Darstellung der Phasenverschiebung über die Oberfläche mit

Abbildung 10: Grafische Darstellung der Amplitude über die Oberfläche mit

Abbildung 11: Grafische Darstellung der Amplitude über die Oberfläche mit

Abbildung 12: Grafische Darstellung der Phasenverschiebung über die Oberfläche mit

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Berechente Phasenverschiebung 1

Tabelle 2: Berechnete Phasenverschiebung 2

Tabelle 3: Gegebene Messwerte

1. Grundlagen

1.1. Versuchseinleitung

In diesem Versuch ist das Ziel die nähere Betrachtung eines makroskopischen Analogons zu einem Raster-Kraft-Mikroskop.

1.2. Schwingungsarten

Durch die Auslenkung eines Systems, welches sich im Gleichgewicht befindet, entsteht eine gedämpfte harmonische Schwingung. Die Schwingungsdifferentialgleichung für eine gedämpfte harmonische Drehschwingung lautet:

     (1.2.1)

Wobei  der Momentanbeschleunigung,  der Momentangeschwindigkeit, y der Auslenkung,  der Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung und  dem Abklingkoeffizienten entspricht.  setzt sich dabei zusammen aus D, dem Dämpfungsmaß, und . Die während der Bewegung auftretende Reibung wirkt der Schwingung entgegen und bremst sie so immer weiter ab, bis sie schließlich vollständig zum Erliegen kommt. Die Schwingungsenergie wird dabei an die Umgebung übertragen. Die Zeit, welche bis zum Erliegen der Schwingung benötigt wird, ist maßgeblich von der Art der gedämpften Schwingungen abhängig. Es wird dabei zwischen den drei folgenden Schwingungsarten unterschieden. Bei dem ersten Fall, dem Schwingfall, entsteht, aufgrund einer geringer Dämpfung (), eine lange Schwingdauer und die Wiederherstellung des ursprünglichen Systemgleichgewichts stellt sich erst nach einem längeren Zeitraum wieder ein. Dem entgegen steht der zweite Fall, der Kriechfall, bei dem eine starke Dämpfung existiert (), weshalb das ausgelenkte System hier nur vergleichsweiße kurz schwingt, bis sich die Gleichgewichtslage wieder einstellt. Der dritte und auch letzte Fall, der aperiodische Grenzfall, stellt die schnellste Variante des Kriechfalls dar. Bei diesem erfolgt, aufgrund der Dämpfungsart (), fast überhaupt keine Schwingung wenn das System ausgelenkt wird und es kommt zu eine sehr schnelle Wiederherstellung des anfänglichen Gleichgewichts. Den grafischen Verlauf der jeweiligen Schwingfälle, kann den jeweiligen Abbildungen eins bis drei entnommen werden. Möchte man nun eine dauerhafte Schwingung erzeugen, so muss permanent Energie zugeführt werden, beispielsweise durch einen Motor. Bei einem gedämpften Oszillator folgt dann dafür die Gleichung:

      (1.2.2)

dabei steht m für die Masse des Oszillators, d für die Dämpfungskonstante, a für eine beliebige Konstante und F für die anregende Kraft. Wenn nun die anregende Frequenz der Pendelfrequenz entspricht, dann entsteht der Resonanzfall. Bei diesem Fall wird die Pendelfrequenz durch die anregende Frequenz verstärkt und die Amplitude wird Maximal. Weiterhin erfolgt eine Phasenverschiebung von 90° zwischen der Schwingung und der anregenden Frequenz. Außerdem ist die Resonanzfrequenz bestimmbar mittels der Formel:

            (1.2.3)

bei der k für die Federkonstante und  für die effektive Masse steht. Da in diesem Versuch nur ein einseitig eingespannter Balken betrachtet wird, lässt sich die Federkonstante mit der folgenden Gleichung lösen:

        (1.2.4)

wobei l für die Länge, b für die Breite, d für die Dicke und E für den Elastizitätsmodul des Balkens steht.

1.3. Magnetfeld

Durch permanente Magnete oder bewegte elektrische Ladungen werden Magnetfelder erzeugt, deren Feldlinien stets abgeschlossen sind, da es keine magnetischen Monopole gibt. Es lässt sich dabei zwischen der magnetischen Flussdichte  und der magnetischen Feldstärke  unterscheiden. Berechnet werden können sie mittels der Gleichung:

        (1.3.1)

wobei die Permeabilität, auch magnetische Leitfähigkeit genannt,  definiert ist als:

     (1.3.2)

dabei ist  die magnetische Feldkonstante  die vom Material abhängige Permeabilitätszahl. Um das magnetische Feld selbst zu beschreiben verwendet man den magnetische Fluss , welcher durch die magnetische Flussdichte mittels eines Flächenintegrals wie folgt berechnet werden kann:

  (1.3.3)

Dieses erzeugte Magnetfeld wird nun dazu genutzt den Metallbalken zu einer Schwingung anzuregen. Durch diese Schwingung wird nun der magnetische Fluss beeinflusst, wodurch eine, proportional zur Schwingungsamplitude, Spannung induziert wird, welche mit Hilfe eines Oszilloskops gemessen werden kann. Diese Induktionsspannung , welche auftritt wenn in der Fläche, die von einem Leiter umgeben ist, eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses stattfindet, kann auf Basis von Formel (1.3.3) berechnet werden mit:

   (1.3.4)

1.4. Wechselwirkung

Zusätzlich wird der Balken noch durch die Wechselwirkung zwischen der Probe und dem Magneten beeinflusst. Diese Wechselwirkung lässt sich in die attraktive und repulsive Wechselwirkung aufteilen und führt zu einer Verschiebung der Resonanzfrequenz, siehe auch Abbildung 4. Dabei verschiebt die attraktive Wechselwirkung (rot) sie zu einer niedrigeren Frequenz und die repulsive Wechselwirkung (blau) zu einer höheren Frequenz. Durch diese Frequenzänderung kommt auch eine Änderung der Schwingungsamplitude zustande, allerdings sagt diese nichts über die Richtung, in die sich die Resonanzfrequenz bewegt, aus. Der Grund dafür ist der, dass die Amplitude bei beiden Wechselwirkungen kleiner wird und man deshalb die Phasenverschiebung betrachten muss. Dadurch ist es dann möglich die Verschiebungsrichtung der Resonanzfrequenz zu bestimmen, da bei einer positiven Phasenverschiebung sich die Frequenz nach links und bei einer Negativen sich die Frequenz nach rechts bewegt. So kann dann auch bestimmen, welche Wechselwirkung genau vorliegt. Berechnet werden kann die Phasenverschiebung  mit der Gleichung:

          (1.4.1)

Weiterhin kann man, wenn die Resonanzfrequenz kleiner als die Anregungsfrequenz ist, die Art der Wechselwirkung sowohl über die Phasenverschiebung als auch die Amplitude feststellen. Dazu vergleicht man die neue Amplitude, mit der alten Amplitude, welche bei derselben Frequenz ermittelt wird. Ist die neue Amplitude kleiner als die Alte, dann liegt eine attraktive Wechselwirkung vor und wenn sie größer ist, dann eine Repulsive. Dies funktioniert mit der Phasenverschiebung ähnlich, hier steht aber eine größere Verschiebung für die attraktive und eine kleiner Verschiebung für eine repulsive Wechselwirkung.

3. Diskussion

Die durch Variation der Frequenz bestimmte Resonanzfrequenz  wurde per Augenmaß zu 63,6 bestimmt. Auch die Resonanz- und Phasenverschiebungskurve lassen nicht darauf schließen, dass die Resonanzfrequenz stark von dem bestimmten Wert abweicht. Trotzdem gab es bei diesem Versuch einige Fehlerquellen. Wie schon beschrieben war der Balken schon zu Beginn des Versuchs verbogen, sodass am Oszilloskop ein Knick in der ansonsten Sinus förmigen Kurve vorhanden war, was zu einem veränderten Schwingungsverhalten geführt haben könnte. Außerdem wurde beobachtet, dass sich die Kurve leicht veränderte, als man den Balken anhob, was durch Metallstreben hervorgerufen worden sein könnte, welche an der Unterseite des Tisches verliefen. Eine leichte Veränderung konnte auch beobachtet werden, als man den Balken in die Nähe der Messgeräte brachte. Außerdem befanden sich in der Platte, auf der ein Teil der Oberfläche gerastert wurde, weitere Magnete, welche für zusätzliche Wechselwirkungen verantwortlich sein könnten.

4.  Zusammenfassung

In diesem Versuch wurde die Resonanzfrequenz des Balkens bestimmt zu:

Und beim Rastern der  Oberfläche verschiedene Wechselwirkungen durch Magneten festgestellt.

Quellenverzeichnis

1. Demtröder, W. (2013). Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme (6., neu bearbeitete und aktualisierte Ausg.). Springer-Verlag.
2. Erdmann, M. (2011). Physik Denken - Exprimentalphysik 3 - Schwingungen, Wellen, Körperdrehungen (1. Ausg.). Springer-Verlag.
3. Georg-August-Universität Göttingen. (5. Juli 2015). Abgerufen am 5. Juli 2015 von Georg-August-Universität Göttingen: https://lp.uni-goettingen.de/get/text/4622
4. Goertz, S. (kein Datum). Universität Bonn. Abgerufen am 2. September 2014 von Universität Bonn: http://pi.physik.uni-bonn.de/~goertz/Blockseminar/Versuch6.pdf
5. Kraus, D., & Pieper, W. (kein Datum). Hochschule Bremen. Abgerufen am 2. September 2014 von Hochschule Bremen: http://homepages.hs-bremen.de/~krausd/iwss/V5a.pdf
6. Kuchling, H. (2014). Taschenbuch der Physik (21. Ausg.). München: Carl Hanser Verlag.
7. NDT Resource Center. (5. Juli 2015). Abgerufen am 5. Juli 2015 von NDT Resource Center: https://www.nde-ed.org/EducationResources/CommunityCollege/MagParticle/P...
8. Tipler, P. A. (2000). Physik (3. korrigierte Ausg.). Spektrum Akademischer Verlag.
9. Tipler, P. A., & Mosca, G. (2009). Physik (6. Ausg.). Springer-Verlag.
10. Wedler, G., & Freund, H.-J. (2012). Lehrbuch der physikalischen Chemie (6. vollständig überarbeitete und aktualisierte Ausg.). WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.
11. Wikipedia. Abgerufen am 10. Juni 2015 von Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetische_Suszeptibilit%C3%A4t
12. Wikipedia. Abgerufen am 10. Juni 2015 von Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetismus