Praktikumsprotokoll Paramagnetismus

 

Paramagnetismus

 

Inhaltsverzeichnis

 

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1. Grundlagen

1.1. Versuchseinleitung

1.2. Magnetfeld

1.3. Dia-, Para- und Ferromagnetismus, Suszeptibilität und Permeabilität

1.4. Lorentz-Kraft

1.5. Steighöhenmethode nach Quincke und Zylindermethode nach Gouy

2. Auswertung

2.1. Messung der Stärke des Magnetfeldes

2.2. Bestimmung der Suszeptibilität nach Gouy

2.3. Bestimmung der Suszeptibilität nach Quincke

3. Diskussion

4. Zusammenfassung

Quellenverzeichnis

Messprotokoll

Abbildungsverzeichnis

 

Abbildung 1: Magnetfeld in Abhängigkeit des Abstands

Tabellenverzeichnis

 

Tabelle 1: Berechnete Magnetfeldstärke

Tabelle 2: Suszeptibilität nach Gouy

Tabelle 3: Suszeptibilität nach Quincke

1. Grundlagen

 

1.1. Versuchseinleitung

 

In diesem Versuch ist das Ziel, mit Hilfe der Steighöhenmethode nach Quincke und der Zylindermethode nach Gouy die magnetische Suszeptibilität verschiedener Materialien festzustellen.

 

1.2. Magnetfeld

 

Durch permanente Magnete oder bewegte elektrische Ladungen werden Magnetfelder erzeugt, deren Feldlinien stets abgeschlossen sind, da es keine magnetischen Monopole gibt. Es lässt sich dabei zwischen der magnetischen Flussdichte  und der magnetischen Feldstärke  unterscheiden. Berechnet werden können sie mittels der Gleichung:

        (1.2.1)

wobei die Permeabilität, auch magnetische Leitfähigkeit genannt,  definiert ist als:

     (1.2.2)

dabei ist  die magnetische Feldkonstante und  die vom Material abhängige Permeabilitätszahl. Um das magnetische Feld selbst zu beschreiben verwendet man den magnetische Fluss , welcher durch die magnetische Flussdichte mittels eines Flächenintegrals wie folgt berechnet werden kann:

  (1.2.3)

Weiterhin erhält man eine Induktionsspannung , wenn in der Fläche, welche von einem Leiter umgeben ist, eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses stattfindet und so eine Spannung induziert wird. Diese lässt sich dann, auf Basis von Formel (1.2.3), berechnen mit:

   (1.2.4)

 

1.3. Dia-, Para- und Ferromagnetismus, Suszeptibilität und Permeabilität

 

Para- und Ferromagnetismus ist jener Effekt, welcher innerhalb eines Materials, das sich in einem Magnetfeld befindet, auftritt und dafür sorgt, dass das magnetische Feld im Material verstärkt wird. Diamagnetismus ist das Gegenteil davon und schwächt also das Magnetfeld ab. Die Ursachen des Magnetismus sind die Bewegungen von elektrischen Ladungen innerhalb der Elektronenhülle von Atomen, dem Spin, auch als Eigendrehimpuls bezeichnet, und dem Bahndrehimpuls. Dabei verfügen alle geladenen Elementarteilchen, welche einen Eigendrehimpuls besitzen, über ein magnetisches Dipolmoment. Nun können die Elektronenbewegungen vereinfacht als Kreisbahn um den Atomkern angesehen werden, wobei das induzierte Magnetfeld in nur eine Richtung zeigt und so ein magnetischer Dipol erzeugt wird. Wenn nun allerdings noch ein äußeres Magnetfeld erzeugt wird, dann versucht sich der Dipol auch noch nach diesem auszurichten und erhält so ein Drehmoment L, welches durch die folgende Gleichung berechnet werden kann:

 (1.3.1)

bei der  für die Elektronenmasse,  für die Elektronengeschwindigkeit und r für den Radius der Kreisbahn steht. Definiert ist die Geschwindigkeit in diesem Fall durch:

       (1.3.2)

wobei  die Winkelgeschwindigkeit und T die Umlaufzeit ist und letztere berechnet wir mit:

            (1.3.3)

wodurch sich auch die Vereinfachung von (1.3.2) erklärt. Außerdem entsteht ein magnetisches Dipolmoment , welches sich aus dem Ladungsträgerstrom und der davon umflossenen Fläche zusammensetzt. Berechnet wird das magnetische Dipolmoment dann mit der Formel:

    (1.3.4)

dabei steht I für den Strom, also einer bewegten Ladung pro Zeit, A für die Fläche und e für die Ladung eines Elektrons. Die Berechnung des Stroms erfolgt in diesem Fall über die Gleichung:

      (1.3.5)

und die der Fläche mit:

       (1.3.6)

Berücksichtig man nun noch die Kreisbahn und setzt dementsprechend(1.3.1) in (1.3.4) ein, so erhält man für das magnetische Dipol die Endgleichung:

        (1.3.7)

Das innere magnetische Feld hingegen, welches sich durch das äußere Magnetfeld aufbaut, wird beschrieben durch die Magnetisierung . Die Magnetisierung wiederum ist definiert als das resultierende magnetische Moment  pro Volumeneinheit . Berechnet wird sie deshalb mittels der Gleichung:

          (1.3.8)

wobei  für die Suszeptibilität steht, welche materialabhängig ist. Nun kann man (1.3.1) in (1.2.1) einsetzen und erhält so die Formel:

           (1.3.9)

Aus dieser erweiterten Gleichung der magnetischen Flussdichte ergibt sich dann auch direkt der folgende Zusammenhang:

     (1.3.10)

Weiterhin kann man mit der Suszeptibilität alle Materialien in Dia- Para und Ferromagnete einteilen. Wenn man ein diamagnetisches Material in ein magnetisches Feld bringt, dann entsteht in ihrem Inneren ein weiteres Feld, welches aufgrund der Lenzschen Regel dem Äußeren entgegenwirkt. Auf Basis dessen erhält man dann auch einen Suszeptibilitätswert, welcher kleiner als Null ist. Bei para- und ferromagnetischen Materialen verhält es sich genau andersherum, die Suszeptibilitätszahl ist also größer als Null. Der Grund dafür ist der, dass die Dipolmomente des Materials sich in die Richtung des Magnetfeldes neu ausrichten und dadurch das Feld zusätzlich verstärken. Dabei ist dieser Effekt bei Ferromagneten deutlich stärker. Verursacht wird dies durch Bereiche innerhalb des Stoffes, bei denen sämtliche permanente Dipolmomente in dieselbe Richtung zeigen, was die Magnetfeldverstärkung noch weiter intensiviert. Man nennt die Bereiche auch Weißsche Bezirke und sie sind auch der Grund, warum nach dem entfernen eines ferromagnetischen Materials auch eine Restmagnetisierung erhalten bleibt. Diesen Effekt nennt man auch Hysterese. Dabei befindet sich an Punkt a der Sättigungswert, wo sämtliche magnetischen Momente entsprechend ausgerichtet sind. Wenn nun die Magnetfeldstärke wieder abnimmt, bleibt die Ausrichtung der Weißschen Bezirke teilweiße erhalten und damit auch ein Teil der Magnetisierung. An Punkt b befindet sich dann das sogenannte Remanenzfeld, bei dem ein Eisenstab zu einem Permanentmagnet wird. Bei einer Umpolung des Stroms beginnt nun eine Abnahme des Magnetfeldes und erreich in Punkt c den Wert Null. Bei einer weiteren Zuführung des umgepolten Stroms wird dann in Punkt d erneut der Sättigungswert erreicht. Entfernt man nun erneut den Strom und polt in anschließend wieder um, so erreicht man erneut das Remanenzfeld und anschließend den Nullwert, wodurch die Kurve geschlossen wird. Des Weiteren ist die Suszeptibilität temperaturabhängig und wird berechnet mit der Gleichung:

   (1.3.11)

dabei steht C für die materialabhängige Curiekonstante und T für die Temperatur. Dies ist auch der Grund warum ein Objekt unmagnetisch ist, wenn kein äußeres Magnetfeld vorliegt. Da dann die auftretenden Temperaturbewegungen verhindern, dass sich die Dipole gegenseitig ausrichten und sie stattdessen statistisch verteilt werden. Weiterhin verliert ein ferromagnetischer Stoff oberhalb der so genannten Curie Temperatur seine magnetischen Fähigkeiten und er wird zu einem paramagnetischen Stoff. Grund dafür ist einfach der, dass die Weißsche Bezirke oberhalb der Curie Temperatur sich nicht mehr ausrichten können. Dies resultiert durch eine Zunahme der Entropie innerhalb des Systems, wodurch das Material von einem ferromagnetischen in einen paramagnetischen Zustand übergeht.

 

1.4. Lorentz-Kraft

 

Wird in ein Magnetfeld ein elektrische Leiter hineinbewegt, dann beginnt die sogenannte Lorentzkraft  senkrecht auf den Magnetfeldlinien und den bewegten Ladungsträger zu wirken. Diese Kraft kann berechnet werden mit der Formel:

        (1.4.1)

wobei q für die Teilchenladung und v für die Teilchengeschwindigkeit steht. Dies führt dann zu einer Ladungstrennung im eingebrachten Leiter und damit zu einer Differenz des Potentials zwischen der Unter- und Oberseite. Daraus folgt dann ein weiteres elektrisches Feld, welches der Lorentzkraft eine weitere Kraft entgegensetzt und bei gleicher Stärke die Teilchenbewegung stoppt. Aus diesem auftretenden Gleichgewicht der Kräfte kann das Potentialdifferenz, welche auch als Hall-Spannung  bezeichnet wird, berechnet werden und zwar mit der Gleichung:

      (1.4.2)

wobei I für die Stromstärke, d für die Probendicke und  für die Hall-Konstante, welche eine materialabhängige Konstante ist, steht.

 

1.5. Steighöhenmethode nach Quincke und Zylindermethode nach Gouy

 

Mit der Zylindermethode nach Gouy und der Steighöhenmethode nach Quincke, ist es möglich die Suszeptibilität von flüssigen und festen Materialien zu bestimmen. Dabei wird für beide Verfahren die Tatsache verwendet, dass für die Magnetfeldenergie W:

   (1.5.1)

gilt, wobei  für das magnetische Moment steht. Da in diesem Versuch die verschiedenen Stoffe allerdings alle parallel zum Magnetfeld positioniert wurden, ist es ausschließlich notwendig die z-Komponente zu betrachten. Daraus folgt dann eine magnetische Kraft  wie folgt:

   (1.5.2)

Wenn man nun , welches normalerweise als Volumenintegral der Magnetisierung gegeben ist, in eine differentielle Form bringt, so erhält man die Formel:

 (1.5.3)

Durch einsetzen von Gleichung (1.3.1) und (1.2.1) in (1.5.3) bekommt man dann:

     (1.5.4)

Setzt man nun (1.5.4) in (1.5.2) ein und integriert, so erhält man die Gleichung:

            (1.5.5)

Da bei der Steighöhenmethode allerdings nicht nur  wirkt, sondern noch zusätzlich die Gravitationskraft , muss auch diese wie folgt berücksichtigt werden:

      (1.5.6)

wobei  der Dichte der Flüssigkeit, A der Querschnittsfläche, g der Erdbeschleunigung und h der Differenz der Flüssigkeitspegelhöhen entspricht. Wenn man nun  und  gleich setzt:

          (1.5.7)

dann erhält man so:

            (1.5.8)

und anschließend durch umstellen die folgende Gleichung:

    (1.5.9)

Weiterhin wird die Formel:

           (1.5.10)

benötigt, wobei  für die Flüssigkeitshöhe im dünnen Rohr und  für die Flüssigkeitshöhe im dicken Rohr steht, um die Höhendifferenz berechnen zu können. Außerdem müssen auch die Volumina der Rohre berechnet werden, was mit der Gleichung:

            (1.5.11)

möglich ist. Dabei steht  für den Radius des dünnen Rohres und  für den Radius des dicken Rohres. Setzt man jetzt (1.5.11) in (1.5.10) ein, so erhält man die Endformel der Höhenberechnung wie folgt:

      (1.5.12)

Bei der Zylindermethode erfolgt ebenfalls eine Gleichsetzung der beiden Kräfte, liefert allerdings hier die Gleichung:

   (1.5.13)

wobei die Massendifferenz  direkt von der Waage, durch vorheriges Nullen, direkt abgelesen werden kann.

 

2. Auswertung

 

2.1. Messung der Stärke des Magnetfeldes

 

Im ersten Versuchsteil sollte die Stärke des Magnetfeldes bei verschiedenen Stromstärken und Abständen zum Mittelpunkt gemessen werden, da allerdings keine Hall Sonde zur Messung zur Verfügung stand werden die im Versuchsraum ausgehangen Werte (Messprotokoll) verwendet. Aus den Werten lässt sich schließen, dass das Magnetfeld zwischen den Polschuhen nahezu konstant bleibt und außerhalb der Polschuhe mit dem Abstand sehr stark abnimmt. Die folgende Abbildung verdeutlicht dies, wobei der Radius der Polschuhe 6 cm beträgt.

2.2. Bestimmung der Suszeptibilität nach Gouy

 

In diesem Versuchsteil soll die Suszeptibilität nach der Methode von Gouy von einem Quader aus einer Aluminium-Legierung, pulverförmigen, einer 4-molaren  Lösung und einer 4-molaren  Lösung bestimmt werden. Dazu wurden zunächst die Querschnittsfläche des Quaders und der Reagenzgläser bestimmt mit h als Füllhöhe, d als Außendurchmesser und b als Wandstärke:

 

 

Da die Magnetfeldstärke proportional zur Stromstärke ist und nur die Magnetfeldstärke für 3 A bekannt ist, kann sie für beliebige Stromstärken folgendermaßen berechnet werden:

 

Für alle im Versuch verwendeten Stromstärken ergeben sich so folgende Werte:

I in A	B in T
0
0,5
1
1,3
1,5
1,6
1,9
2,0
2,2
2,5
2,8
3,0
3,1
3,5

Die Gewichtsunterschiede zwischen der Probe ohne Magnetfeld und Probe mit Magnetfeld wurden direkt gemessen, indem die Waage bei den Proben ohne Magnetfeld auf 0 gesetzt wurde. Mit der Erdbeschleunigung in Kassel von  und  kann die Suszeptibilität nach Formel (1.5.13) berechnet werden. Die Rechnung wird für die erste Messung des pulverförmigen  gezeigt, für alle anderen Messungen erfolgt die Berechnung analog.

 

				Aluminium-Legierung
I in A				I in A
1,0	40 40			1,0
1,3	40 30			1,5
1,6	40 30			2,0
1,9	40 20			2,5
2,2	35 18			3,0
2,5	35 16			3,5

Für jedes Material wird nun der Mittelwert berechnet, und für den Fehler die größte Abweichung des Mittelwerts zu den Messwerten, zu dem größten Fehler addiert.

 

 

2.3. Bestimmung der Suszeptibilität nach Quincke

 

In diesem Versuchsteil soll die Suszeptibilität nach der Methode von Quincke, von den zuvor verwendeten 4-molaren  und  Lösungen bestimmt werden. Zunächst werden dazu die Dichten der Lösungen aus deren molaren Massen bestimmt zu:

 

Da die Höhendifferenz nach Formel (1.5.12) berechnet wird wurden die Durchmesser der beiden Rohre gemessen und daraus die Radien berechnet zu:

 

Mit den berechneten Höhendifferenzen wird durch Formel (1.5.9) die Suszeptibilität berechnet, hier für die erste Messung, alle anderen Berechnungen erfolgen analog.

 

Die Bildung des Mittelwerts und des Fehler folgen analog zu Abschnitt 2.2:

 

I in A
0,5
1
1,3
1,6
1,9
2,2
2,5
2,8
3,1
3,5

3. Diskussion

 

Die Literaturwerte [1] liegen bei ,  und , für  konnte kein Literaturwert gefunden werden. Die im Versuch bestimmten Suszeptibilitäten von  und  nach der Methode von Gouy und Quincke stimmen unter Berücksichtigung der Fehler miteinander überein, allerdings nicht mit den Literaturwerten. Der im Versuche bestimmte Wert für Aluminium stimmt mit dem Literaturwert überein, allerdings ist nicht bekannt welche Aluminium-Legierung, oder sogar reines Aluminium verwendet wurde. Daher kann für Aluminium keine genaue Aussage getroffen werden, es ist aber keine große Abweichung zu erwarten.  Fehlerquellen die bei den anderen Materialien aufgetreten sein könnten, sind z.B., dass  sich bei  und  sich nicht nur die Flüssigkeit im Reagenzglas befand, deren Füllhöhe gemessen wurde, sondern auch kristalline Ablagerungen im oberen Bereich des Reagenzglases zu finden waren. Eine Verunreinigung der Stoffe kann nicht ausgeschlossen werden. Des Weiteren war während des Versuchs das Fenster geöffnet, sodass sich die Gläser nicht komplett in Ruhe zwischen den Polschuhen befanden. Außerdem standen für die Auswertung nur die Werte des Magnetfeldes zur Verfügung, welche im Versuchsraum aushingen, und nicht überprüft werden konnte, ob diese Werte korrekt sind. Die hängenden Proben bei der Methode nach Gouy schiene wegen des Magnetfeldes nicht mittig zwischen den Polschuhe zu hängen, sondern wurden zur Seite ausgelenkt und berührten manchmal die Polschuhe, genau wie das U-Rohr, das gerade so zwischen die Polschuhe passte und diese ebenfalls berührte. Es wurde auch keine Temperaturmessung durchgeführt und somit die Temperaturabhängigkeit der Suszeptibilität vernachlässigt. Ebenfalls konnte die Stromstärke nur relativ ungenau eingestellt werden, da die Skala nur in Schritte von 0,5 A eingeteilt war, aber zehn verschiedene Stromstärken zwischen 0 A und 3 A gewählt werden sollten.

4. Zusammenfassung

 

In diesem Versuch wurde die Suszeptibilität von einem Quader aus einer Aluminium-Legierung, pulverförmigen , 4-molaren  und  Lösungen nach der Methode von Gouy bestimmt zu:

 

sowie die Suszeptibilität von 4-molaren  und  Lösungen nach der Methode von Quincke zu:

Quellenverzeichnis

 

1. Georg-August-Universität Göttingen. (5. Juli 2015). Abgerufen am 5. Juli 2015 von Georg-August-Universität Göttingen: https://lp.uni-goettingen.de/get/text/4622
2. Kuchling, H. (2014). Taschenbuch der Physik (21. Ausg.). München: Carl Hanser Verlag.
3. Mietke, D. (30. Juli 2015). Vom Elektron zur Elektronik. Abgerufen am 30. Juli 2015 von Vom Elektron zur Elektronik: http://elektroniktutor.oszkim.de/grundlagen/magnet.html#magneton
4. NDT Resource Center. (5. Juli 2015). Abgerufen am 5. Juli 2015 von NDT Resource Center: https://www.nde-ed.org/EducationResources/CommunityCollege/MagParticle/…
5. Tipler, P. A., & Mosca, G. (2009). Physik (6. Ausg.). Springer-Verlag.
6. Wedler, G., & Freund, H.-J. (2012). Lehrbuch der physikalischen Chemie (6. vollständig überarbeitete und aktualisierte Ausg.). WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.
7. Wikipedia. (10. Juni 2015). Abgerufen am 10. Juni 2015 von Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetismus
8. Wikipedia. (10. Juni 2015). Abgerufen am 10. Juni 2015 von Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetische_Suszeptibilit%C3%A4t