Dieses Praktikumsprotokoll entstand wÀhrend meines Physikstudiums im Rahmen des Moduls C-Praktikum. Es wurde von meinem Praktikumspartner und mir erstellt, wobei mein Kommilitone nicht namentlich genannt werden möchte. Das Protokoll wurde zwar testiert, es können sich allerdings dennoch inhaltliche oder grammatikalische Fehler darin befinden. Sollte jemand solche Fehler finden, wÀre ich froh wenn er sie mir mitteilt.
Raster-Kraft-Makroskop
Inhaltsverzeichnis
Abbildung 1: Schwingfall
Abbildung 2: Kriechfall
Abbildung 3: Aperiodischer Grenzfall
Abbildung 4: Verschiebung der Resonanzfrequenz
Abbildung 5: Resonanzkurve
Abbildung 6: Phasenverschiebung
Abbildung 7: Grafische Darstellung der Phasendifferenz ĂŒber die OberflĂ€che
Abbildung 8: Grafische Darstellung der Amplitude ĂŒber die OberflĂ€che
Abbildung 9: Grafische Darstellung der Phasenverschiebung ĂŒber die OberflĂ€che mit
Abbildung 10: Grafische Darstellung der Amplitude ĂŒber die OberflĂ€che mit
Abbildung 11: Grafische Darstellung der Amplitude ĂŒber die OberflĂ€che mit
Abbildung 12: Grafische Darstellung der Phasenverschiebung ĂŒber die OberflĂ€che mit
Tabelle 1: Berechente Phasenverschiebung 1
Tabelle 2: Berechnete Phasenverschiebung 2
Tabelle 3: Gegebene Messwerte
In diesem Versuch ist das Ziel die nÀhere Betrachtung eines makroskopischen Analogons zu einem Raster-Kraft-Mikroskop.
Durch die Auslenkung eines Systems, welches sich im Gleichgewicht befindet, entsteht eine gedĂ€mpfte harmonische Schwingung. Die Schwingungsdifferentialgleichung fĂŒr eine gedĂ€mpfte harmonische Drehschwingung lautet:
(1.2.1)
Wobei der Momentanbeschleunigung, der Momentangeschwindigkeit, y der Auslenkung, der Eigenfrequenz der gedĂ€mpften Schwingung und dem Abklingkoeffizienten entspricht. setzt sich dabei zusammen aus D, dem DĂ€mpfungsmaĂ, und . Die wĂ€hrend der Bewegung auftretende Reibung wirkt der Schwingung entgegen und bremst sie so immer weiter ab, bis sie schlieĂlich vollstĂ€ndig zum Erliegen kommt. Die Schwingungsenergie wird dabei an die Umgebung ĂŒbertragen. Die Zeit, welche bis zum Erliegen der Schwingung benötigt wird, ist maĂgeblich von der Art der gedĂ€mpften Schwingungen abhĂ€ngig. Es wird dabei zwischen den drei folgenden Schwingungsarten unterschieden. Bei dem ersten Fall, dem Schwingfall, entsteht, aufgrund einer geringer DĂ€mpfung (), eine lange Schwingdauer und die Wiederherstellung des ursprĂŒnglichen Systemgleichgewichts stellt sich erst nach einem lĂ€ngeren Zeitraum wieder ein. Dem entgegen steht der zweite Fall, der Kriechfall, bei dem eine starke DĂ€mpfung existiert (), weshalb das ausgelenkte System hier nur vergleichsweiĂe kurz schwingt, bis sich die Gleichgewichtslage wieder einstellt. Der dritte und auch letzte Fall, der aperiodische Grenzfall, stellt die schnellste Variante des Kriechfalls dar. Bei diesem erfolgt, aufgrund der DĂ€mpfungsart (), fast ĂŒberhaupt keine Schwingung wenn das System ausgelenkt wird und es kommt zu eine sehr schnelle Wiederherstellung des anfĂ€nglichen Gleichgewichts. Den grafischen Verlauf der jeweiligen SchwingfĂ€lle, kann den jeweiligen Abbildungen eins bis drei entnommen werden. Möchte man nun eine dauerhafte Schwingung erzeugen, so muss permanent Energie zugefĂŒhrt werden, beispielsweise durch einen Motor. Bei einem gedĂ€mpften Oszillator folgt dann dafĂŒr die Gleichung:
(1.2.2)
dabei steht m fĂŒr die Masse des Oszillators, d fĂŒr die DĂ€mpfungskonstante, a fĂŒr eine beliebige Konstante und F fĂŒr die anregende Kraft. Wenn nun die anregende Frequenz der Pendelfrequenz entspricht, dann entsteht der Resonanzfall. Bei diesem Fall wird die Pendelfrequenz durch die anregende Frequenz verstĂ€rkt und die Amplitude wird Maximal. Weiterhin erfolgt eine Phasenverschiebung von 90° zwischen der Schwingung und der anregenden Frequenz. AuĂerdem ist die Resonanzfrequenz bestimmbar mittels der Formel:
(1.2.3)
bei der k fĂŒr die Federkonstante und fĂŒr die effektive Masse steht. Da in diesem Versuch nur ein einseitig eingespannter Balken betrachtet wird, lĂ€sst sich die Federkonstante mit der folgenden Gleichung lösen:
(1.2.4)
wobei l fĂŒr die LĂ€nge, b fĂŒr die Breite, d fĂŒr die Dicke und E fĂŒr den ElastizitĂ€tsmodul des Balkens steht.
Durch permanente Magnete oder bewegte elektrische Ladungen werden Magnetfelder erzeugt, deren Feldlinien stets abgeschlossen sind, da es keine magnetischen Monopole gibt. Es lÀsst sich dabei zwischen der magnetischen Flussdichte und der magnetischen FeldstÀrke unterscheiden. Berechnet werden können sie mittels der Gleichung:
(1.3.1)
wobei die PermeabilitÀt, auch magnetische LeitfÀhigkeit genannt, definiert ist als:
(1.3.2)
dabei ist die magnetische Feldkonstante die vom Material abhÀngige PermeabilitÀtszahl. Um das magnetische Feld selbst zu beschreiben verwendet man den magnetische Fluss , welcher durch die magnetische Flussdichte mittels eines FlÀchenintegrals wie folgt berechnet werden kann:
(1.3.3)
Dieses erzeugte Magnetfeld wird nun dazu genutzt den Metallbalken zu einer Schwingung anzuregen. Durch diese Schwingung wird nun der magnetische Fluss beeinflusst, wodurch eine, proportional zur Schwingungsamplitude, Spannung induziert wird, welche mit Hilfe eines Oszilloskops gemessen werden kann. Diese Induktionsspannung , welche auftritt wenn in der FlĂ€che, die von einem Leiter umgeben ist, eine zeitliche Ănderung des magnetischen Flusses stattfindet, kann auf Basis von Formel (1.3.3) berechnet werden mit:
(1.3.4)
ZusĂ€tzlich wird der Balken noch durch die Wechselwirkung zwischen der Probe und dem Magneten beeinflusst. Diese Wechselwirkung lĂ€sst sich in die attraktive und repulsive Wechselwirkung aufteilen und fĂŒhrt zu einer Verschiebung der Resonanzfrequenz, siehe auch Abbildung 4. Dabei verschiebt die attraktive Wechselwirkung (rot) sie zu einer niedrigeren Frequenz und die repulsive Wechselwirkung (blau) zu einer höheren Frequenz. Durch diese FrequenzĂ€nderung kommt auch eine Ănderung der Schwingungsamplitude zustande, allerdings sagt diese nichts ĂŒber die Richtung, in die sich die Resonanzfrequenz bewegt, aus. Der Grund dafĂŒr ist der, dass die Amplitude bei beiden Wechselwirkungen kleiner wird und man deshalb die Phasenverschiebung betrachten muss. Dadurch ist es dann möglich die Verschiebungsrichtung der Resonanzfrequenz zu bestimmen, da bei einer positiven Phasenverschiebung sich die Frequenz nach links und bei einer Negativen sich die Frequenz nach rechts bewegt. So kann dann auch bestimmen, welche Wechselwirkung genau vorliegt. Berechnet werden kann die Phasenverschiebung mit der Gleichung:
(1.4.1)
Weiterhin kann man, wenn die Resonanzfrequenz kleiner als die Anregungsfrequenz ist, die Art der Wechselwirkung sowohl ĂŒber die Phasenverschiebung als auch die Amplitude feststellen. Dazu vergleicht man die neue Amplitude, mit der alten Amplitude, welche bei derselben Frequenz ermittelt wird. Ist die neue Amplitude kleiner als die Alte, dann liegt eine attraktive Wechselwirkung vor und wenn sie gröĂer ist, dann eine Repulsive. Dies funktioniert mit der Phasenverschiebung Ă€hnlich, hier steht aber eine gröĂere Verschiebung fĂŒr die attraktive und eine kleiner Verschiebung fĂŒr eine repulsive Wechselwirkung.
2.1. Schwingungsverhalten des Balkens
Im ersten Versuchsteil wurde die Spule des Balkens ĂŒber den VerstĂ€rker mit dem Frequenzgenerator verbunden und so der Balken zu Schwingung angeregt. Nach dem AnschlieĂen des Oszilloskops konnte beobachtet werden, dass die Schwingung des Balkens nicht exakt einer Sinuskurve folgte, sondern im Graph noch ein zusĂ€tzlicher Knick zu sehen war, da der Balken schon leicht verbogen war. Durch Variation der angelegten Spannung wurde die maximale Amplitude, also die Resonanzfrequenz bestimmt zu . Wurde eine Probe mit repulsiver Wechselwirkung zur Balkenspitze in die NĂ€he gebracht, konnte beobachtet werden, dass sich die Resonanzfrequenz nach rechts, also zu höheren Frequenzen verschiebt, wĂ€hrend Proben mit attraktiver Wechselwirkung die Resonanzfrequenz nach links, also zu niedrigeren Frequenzen verschiebt.
2.2. Resonanz- und Phasenverschiebungskurve
Im zweiten Versuchsteil wurden nun die Amplitude der in der zweiten Spule induzierten Spannung und die Verschiebung auf der Zeit-Achse zwischen angelegter und induzierter Spannung gemessen, wĂ€hrend die Frequenz variiert wurde, wobei in der NĂ€he der Resonanzfrequenz die Frequenz in kleineren Schritten verĂ€ndert wurde. Zu beachten ist, dass bei allen auf dem Messprotokoll in Divisions gemessenen Werten die kleinen Teilstiche auf dem Oszilloskop gezĂ€hlt wurden und demnach noch durch 5 geteilt werden mĂŒssen. TrĂ€gt man nun die induzierte Spannung ĂŒber die Frequenz auf so ergibt sich folgende Resonanzkurve.
Die Resonanzfrequenz liegt bei , je weiter man sich von dieser Frequenz entfernt, desto weiter nimmt die Amplitude ab. Im Folgenden soll die Phasenverschiebung bestimmt werden, wofĂŒr die zeitliche Verschiebung t zwischen angelegter und induzierter Spannung gemessen wurde. In diesem Versuch wurde bei der Resonanzfrequenz auch eine zeitliche Verschiebung gemessen, obwohl diese Null seien sollte, vermutlich hervorgerufen durch die Verbiegung des Balkens. Die Phasenverschiebung lĂ€sst sich berechnen mit der Formel (1.4.1):
Eine Beispielrechnung erfolgt fĂŒr die erste Messung:
|
|
|
|
|
63,5 |
0,0004 |
|
|
63,7 |
0,0012 |
|
|
63,9 |
0,0016 |
|
|
64,1 |
0,002 |
|
|
64,3 |
0,0024 |
|
|
64,5 |
0,0026 |
|
|
65 |
0,0032 |
|
|
65,5 |
0,0036 |
|
|
66 |
0,0036 |
|
|
67 |
0,0036 |
|
|
68 |
0,0034 |
|
|
69 |
0,0032 |
|
|
70 |
0,0034 |
|
|
63,3 |
-0,0002 |
|
|
63,1 |
-0,0008 |
|
|
62,9 |
-0,0012 |
|
|
62,7 |
-0,0018 |
|
|
62,5 |
-0,0022 |
|
|
62 |
-0,0026 |
|
|
61,5 |
-0,0032 |
|
|
61 |
-0,0034 |
|
|
60 |
-0,0038 |
|
|
59 |
-0,004 |
|
|
58 |
-0,0042 |
|
|
57 |
-0,0044 |
In der folgenden Abbildung wird nun die Phasenverschiebung ĂŒber die anregende Frequenz aufgetragen.
Wie in der Abbildung zu sehen ist, Àndert sich die Phasenverschiebung im Bereich der Resonanzfrequenz stark mit der Frequenz, wohingegen sich die Phasenverschiebung entfernt von der Resonanzfrequenz kaum noch Àndert. In einem Phasenverschiebungsdiagramm findet man gewöhnlich die Resonanzfrequenz bei einer Phasenverschiebung von 90° bzw. , in diesem Diagramm ist diese jedoch bei einer Phasenverschiebung von ungefÀhr 0 zu finden. Dies folgt daraus, dass die 90° Phasenverschiebung kompensiert wird, durch die Phasenverschiebung von 90° welche zwischen der angelegten und induzierten Spannung vorliegt.
In diesem Versuchsteil wurde der Balken mit der Resonanzfrequenz angeregt und ĂŒber jedem Feld der 5x5 Felder groĂen OberflĂ€che die Amplitude und zeitliche Verschiebung gemessen. Eine Zeichnung der OberflĂ€che ist dem Messprotokoll zu entnehmen, im mittleren Feld der FlĂ€che befindet sich ein Magnet. Die Berechnung der Phasenverschiebung erfolgt analog zu der Berechnung in Abschnitt 2.2.
|
x-Koordinate |
y-Koordinate |
|
|
in rad |
|
1 |
1 |
60 |
0,0008 |
|
|
1 |
2 |
60 |
0,0008 |
|
|
1 |
3 |
60 |
0,0008 |
|
|
1 |
4 |
60 |
0,0008 |
|
|
1 |
5 |
60 |
0,0008 |
|
|
2 |
1 |
58 |
0,0012 |
|
|
2 |
2 |
57 |
0,0014 |
|
|
2 |
3 |
56 |
0,0014 |
|
|
2 |
4 |
58 |
0,0014 |
|
|
2 |
5 |
60 |
0,0012 |
|
|
3 |
1 |
55 |
0,0016 |
|
|
3 |
2 |
52 |
0,0018 |
|
|
3 |
3 |
51 |
0,0020 |
|
|
3 |
4 |
54 |
0,0018 |
|
|
3 |
5 |
58 |
0,0014 |
|
|
4 |
1 |
54 |
0,0016 |
|
|
4 |
2 |
50 |
0,0020 |
|
|
4 |
3 |
49 |
0,0020 |
|
|
4 |
4 |
52 |
0,0020 |
|
|
4 |
5 |
56 |
0,0016 |
|
|
5 |
1 |
55 |
0,0018 |
|
|
5 |
2 |
52 |
0,0018 |
|
|
5 |
3 |
52 |
0,0020 |
|
|
5 |
4 |
54 |
0,0018 |
|
|
5 |
5 |
56 |
0,0016 |
In Abbildung 7 wird die Amplitude ĂŒber der OberflĂ€che mit Gnu Plot grafisch dargestellt.
In Abbildung 8 wird fĂŒr die gleiche Messung die Phasendifferenz ĂŒber der OberflĂ€che aufgetragen.
Es ist zu erkennen, dass an der Position des Magneten (3|3) im Gegensatz zum Rest der FlĂ€che die Amplitude kleiner und die Phasenverschiebung gröĂer ist. Die Amplitude ist in 2 angrenzenden Felder noch geringer, dies könnte auf unbekannte Ă€uĂere EinflĂŒsse hinweisen, berĂŒcksichtigt man jedoch die in der 3D Darstellung nicht sichtbaren Fehler, so sind diese Amplituden nicht zwangsweise kleiner als direkt ĂŒber dem Magneten. FĂŒr die Phasenverschiebung wurden nur positive Werte gemessen, also sind nur attraktive Wechselwirkungen aufgetreten. Je weiter man sich von dem Magneten entfernt, desto weniger wird die Amplitude beeinflusst, bei den Feldern mit der Koordinate x=1 ist die Amplitude nahezu unverĂ€ndert. Nach der Messung mit der Resonanzfrequenz sollte die gleiche FlĂ€che noch einmal mit einer niedrigeren Frequenz gerastert werde, allerdings war das Signal auf dem Oszilloskop so undeutlich, dass ĂŒberhaupt keine VerĂ€nderung der Amplitude gemessen werden konnte. Aus diesem Grund werden alte Messwerte des Betreuers verwendet. In der folgenden Tabelle sind diese Wert zu finden.
|
x-Koordinate |
y-Koordinate |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
180 |
-0,08 |
120 |
0,48 |
|
1 |
2 |
185 |
-0,04 |
115 |
0,52 |
|
1 |
3 |
185 |
0,04 |
110 |
0,52 |
|
1 |
4 |
180 |
0,12 |
100 |
0,56 |
|
1 |
5 |
180 |
0,12 |
100 |
0,56 |
|
2 |
1 |
180 |
-0,08 |
105 |
0,52 |
|
2 |
2 |
185 |
-0,04 |
110 |
0,52 |
|
2 |
3 |
185 |
0,08 |
100 |
0,56 |
|
2 |
4 |
180 |
0,19 |
95 |
0,56 |
|
2 |
5 |
180 |
0,15 |
100 |
0,56 |
|
3 |
1 |
180 |
-0,08 |
110 |
0,52 |
|
3 |
2 |
180 |
-0,08 |
105 |
0,52 |
|
3 |
3 |
180 |
-0,08 |
105 |
0,52 |
|
3 |
4 |
180 |
-0,08 |
100 |
0,52 |
|
3 |
5 |
180 |
-0,08 |
100 |
0,52 |
|
4 |
1 |
180 |
-0,08 |
105 |
0,52 |
|
4 |
2 |
180 |
-0,15 |
105 |
0,52 |
|
4 |
3 |
170 |
-0,27 |
110 |
0,52 |
|
4 |
4 |
170 |
-0,27 |
105 |
0,52 |
|
4 |
5 |
170 |
-0,27 |
100 |
0,52 |
|
5 |
1 |
180 |
-0,12 |
95 |
0,52 |
|
5 |
2 |
175 |
-0,15 |
100 |
0,52 |
|
5 |
3 |
170 |
-0,35 |
105 |
0,52 |
|
5 |
4 |
165 |
-0,39 |
100 |
0,52 |
|
5 |
5 |
170 |
-0,35 |
100 |
0,52 |
Die folgenden zwei Abbildungen zeigen die 3D Darstellung der Amplitude ĂŒber der OberflĂ€che und der Phasenverschiebung ĂŒber der OberflĂ€che mit der Resonanzfrequenz .
In den beiden Abbildungen kann man sehen, dass hautsĂ€chlich der mittlere Teil der FlĂ€che, bei der Amplitude ohne Magneten, bzw. einer Phasenverschiebung von ungefĂ€hr 0 liegt, also kaum Wechselwirkungen stattfinden. Auf der Feld (5|5) und auf angrenzenden Feldern kann man eine negative Phasenverschiebung erkenne, also repulsive Wechselwirkung, wĂ€hrend auf dem Feld (1|5) und den angrenzenden Feldern eine positive Phasenverschiebung, also attraktive Wechselwirkung zu erkennen ist. Wahrscheinlich werden die beiden verschiedenen Wechselwirkungen durch die beiden Pole des Magneten hervorgerufen. Die nĂ€chsten zwei Abbildungen zeigen die 3D Darstellung der Amplitude ĂŒber der OberflĂ€che und der Phasenverschiebung ĂŒber der OberflĂ€che mit der Frequenz .
In der Abbildung der Amplitude lĂ€sst sich wie bei der Resonanzfrequenz erkennen, dass die Amplitude bei (1|1) gröĂer ist und zu (5|5) kleiner wird, allerdings ist bei ungefĂ€hr (4|3) noch eine Erhöhung und bei ungefĂ€hr (2|4) eine Vertiefung zu erkennen. Aus dieser Abbildung geht nicht ganz klar hervor, wie der Magnet orientiert sein könnte, es könnten noch andere Ă€uĂere EinflĂŒsse aufgetreten sein. Die Abbildung der Phasendifferenz sieht der Abbildung mit der Resonanzfrequenz Ă€hnlich, ein Teil der FlĂ€che liegt wieder auf einer Ebene und gröĂere Phasendifferenzen treten wieder in (1|5) und den angrenzenden Feldern auf, allerdings sind bei dieser Messung alle Phasendifferenzen positiv und es findet somit nur attraktive Wechselwirkung statt.
Die durch Variation der Frequenz bestimmte Resonanzfrequenz wurde per AugenmaĂ zu 63,6 bestimmt. Auch die Resonanz- und Phasenverschiebungskurve lassen nicht darauf schlieĂen, dass die Resonanzfrequenz stark von dem bestimmten Wert abweicht. Trotzdem gab es bei diesem Versuch einige Fehlerquellen. Wie schon beschrieben war der Balken schon zu Beginn des Versuchs verbogen, sodass am Oszilloskop ein Knick in der ansonsten Sinus förmigen Kurve vorhanden war, was zu einem verĂ€nderten Schwingungsverhalten gefĂŒhrt haben könnte. AuĂerdem wurde beobachtet, dass sich die Kurve leicht verĂ€nderte, als man den Balken anhob, was durch Metallstreben hervorgerufen worden sein könnte, welche an der Unterseite des Tisches verliefen. Eine leichte VerĂ€nderung konnte auch beobachtet werden, als man den Balken in die NĂ€he der MessgerĂ€te brachte. AuĂerdem befanden sich in der Platte, auf der ein Teil der OberflĂ€che gerastert wurde, weitere Magnete, welche fĂŒr zusĂ€tzliche Wechselwirkungen verantwortlich sein könnten.
In diesem Versuch wurde die Resonanzfrequenz des Balkens bestimmt zu:
Und beim Rastern der OberflÀche verschiedene Wechselwirkungen durch Magneten festgestellt.
- Demtröder, W. (2013). Experimentalphysik 1 - Mechanik und WÀrme (6., neu bearbeitete und aktualisierte Ausg.). Springer-Verlag.
- Erdmann, M. (2011). Physik Denken - Exprimentalphysik 3 - Schwingungen, Wellen, Körperdrehungen (1. Ausg.). Springer-Verlag.
- Georg-August-UniversitÀt Göttingen. (5. Juli 2015). Abgerufen am 5. Juli 2015 von Georg-August-UniversitÀt Göttingen: https://lp.uni-goettingen.de/get/text/4622
- Goertz, S. (kein Datum). UniversitÀt Bonn. Abgerufen am 2. September 2014 von UniversitÀt Bonn: http://pi.physik.uni-bonn.de/~goertz/Blockseminar/Versuch6.pdf
- Kraus, D., & Pieper, W. (kein Datum). Hochschule Bremen. Abgerufen am 2. September 2014 von Hochschule Bremen: http://homepages.hs-bremen.de/~krausd/iwss/V5a.pdf
- Kuchling, H. (2014). Taschenbuch der Physik (21. Ausg.). MĂŒnchen: Carl Hanser Verlag.
- NDT Resource Center. (5. Juli 2015). Abgerufen am 5. Juli 2015 von NDT Resource Center: https://www.nde-ed.org/EducationResources/CommunityCollege/MagParticle/âŠ
- Tipler, P. A. (2000). Physik (3. korrigierte Ausg.). Spektrum Akademischer Verlag.
- Tipler, P. A., & Mosca, G. (2009). Physik (6. Ausg.). Springer-Verlag.
- Wedler, G., & Freund, H.-J. (2012). Lehrbuch der physikalischen Chemie (6. vollstĂ€ndig ĂŒberarbeitete und aktualisierte Ausg.). WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.
- Wikipedia. Abgerufen am 10. Juni 2015 von Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetische_Suszeptibilit%C3%A4t
- Wikipedia. Abgerufen am 10. Juni 2015 von Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Magnetismus
