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Praktikumsprotokoll Präzisionsmessung der Gaskonstante R
Dieses Praktikumsprotokoll entstand während meines Physikstudiums im Rahmen des Moduls A-Praktikum. Es wurde von meinem Praktikumspartner und mir erstellt, wobei mein Kommilitone nicht namentlich genannt werden möchte. Das Protokoll wurde zwar testiert, es können sich allerdings dennoch inhaltliche oder grammatikalische Fehler darin befinden. Sollte jemand solche Fehler finden, wäre ich froh wenn er sie mir mitteilt.
Präzisionsmessung der Gaskonstante R
Inhaltsverzeichnis
1.2. Transversale, longitudinale, laufende und stehende Wellen
1.3. Wellenlänge, Frequenz und Phasengeschwindigkeit
1.4. Ideale Gasgleichung und Zustandsänderungen
1.5. Funktionsweise eines Oszilloskops (Braunsche Röhre)
1.6. Versuchsaufbau und Widerstandsthermometer
2.1. Volumenrechnung und Zuordnung der Indizes n und s
2.2. Berechnung der Schallgeschwindigkeit in Luft, Argon und Stickstoff
2.3. Berechnung der Gaskonstante R
2.4. Adiabatenexponent von Stickstoff
2.5. Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit
3.1. Diskussion und Vergleich mit Literaturwerten
Ziel des Versuchs Präzisionsmessung der Gaskonstanten R, ist, wie der Versuchsname schon aussagt, die Bestimmung eben dieser Naturkonstante. Dabei wird die Gaskonstante aus den Messungen für das Gas Argon errechnet und anschließend mit den Werten des National Bureau of Standards verglichen. Weiterhin wird die Schallgeschwindigkeit in Luft, Argon und Stickstoff ermittelt, sowie der Adiabatenexponent von Stickstoff. Zuletzt wird dann noch die gemessene Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft, verglichen mit der zu erwartenden Temperaturabhängigkeit.
1.2. Transversale, longitudinale, laufende und stehende Wellen
Eine Welle ist einfach ausgedrückt, die periodische Ausbreitung einer Schwingung in Raum und Zeit, während die Schwingung selbst nur eine periodische Bewegung eines Körpers um seine eigene Ruhelage ist. Wenn man bei einer Welle allerdings nur einen einzelnen, bestimmten Punkt betrachtet, dann sieht dieser wie eine Schwingung aus. Des Weiteren teilt sich die Welle in zwei unterschiedliche Wellenarten auf. Einmal gibt es die transversale Welle, auch Quer- oder Schubwelle genannt, bei der die Ausbreitung senkrecht zur Schwingung erfolgt. Beispiele dafür wären die Welle entlang eines Seiles oder Licht in einem Vakuum. Die andere Wellenart ist die longitudinale Welle, auch Längswelle genannt, bei der die Ausbreitungsrichtung der Schwingungsrichtung entspricht. Sowas geschieht beispielsweise bei Schall in Gasen oder Flüssigkeiten. Weiterhin unterscheidet man ebenfalls zwischen einer stehenden und einer laufenden Welle. Eine stehende Welle entsteht dadurch, dass sich zwei Wellen mit gleicher Frequenz treffen, zum Beispiel durch Reflexion. Dadurch entstehen Punkte mit einer Auslenkung von null und die Berge, beziehungsweise Täler, der Welle befinden sich immer an den gleichen Punkten. Hingegen haben bei der laufenden Welle alle Teilchen die gleiche Amplitude, erreichen sie aber nicht zur gleichen Zeit. Mathematisch kann man diese Wellen mit der Wellengleichung erklären:
(1.2.1)
Wobei die Kompressibilität und der Druck p definiert sind durch:
(1.2.2)
(1.2.3)
Dabei ist t die Zeit, das Volumen, R die universelle Gaskonstante, m die Gasmasse, M die Molmassen und p der Druck. Aus Gleichung (1.1.1) folgt dann, das c² gleich:
(1.2.4)
ist. Durch die Lösung der Wellengleichung bekommt man dann die folgende Wellenfunktion:
(1.2.5)
Dabei steht A für die Amplitude, die Kreisfrequenz, k für die Wellenzahl, x für den Ortsvektor und t für die Zeit. Bei Wellen existieren auch so genannte Wellenbäuche und Knoten. Ein Bauch entsteht genau da, wo sich bei einer stehenden Welle die maximale Amplitude befindet. Die Bäuche haben dabei einen Abstand von einer halben Wellenlänge und zwischen ihnen befindet sich immer ein Knoten. Diese Knoten sind, bei einer ebenen Welle, immer da, wo sich die minimale Amplitude einer Welle befindet. In einer zweidimensionalen Umgebung sind es Knotenlinien und in einer dreidimensionalen Knotenebenen.
1.3. Wellenlänge, Frequenz und Phasengeschwindigkeit
In Gasen, und auch Flüssigkeiten, können sich ausschließlich Longitudinalwellen, siehe auch 1.2, ausbreiten. Bei diesen berechnet sich der Abstand zwischen zwei gleichen und benachbarten Schwingungszuständen über die anregende Frequenz f und der Ausbreitungsgeschwindigkeit c der jeweiligen Wellen. Das bedeutet als, wenn man die Frequenz verkleinert, dann wird die Wellenlänge größer und wenn man ihre Geschwindigkeit verringert, dann wird sie kleiner. Man kann die Wellenlänge also berechnen mit der Gleichung:
(1.3.1)
Somit kann man durch einfaches Umstellen von (1.3.1) die Gleichung:
(1.3.2)
erhalten und so die Schallgeschwindigkeit c, beziehungsweise Phasengeschwindigkeit, aus der Frequenz f und der Wellenlänge errechnen. Alternativ kann man auch die Formel:
(1.3.3)
verwenden, bei der r für den Kugelinnenradius, für die Frequenz der Mode mit entsprechenden Indizes n und s und für die Eigenwerte steht, welche sich durch das Lösen der allgemeinen Helmholtz’schen Differentialgleichung ergibt. Diese Differentialgleichung ist eine partielle Differentialgleichung, welche sich aus der Wellengleichung ergibt, wenn man diese nach den Variablen trennt und eine harmonische Zeitabhängigkeit annimmt
1.4. Ideale Gasgleichung und Zustandsänderungen
Ein ideales Gas ist eine Vereinfachung von einem realen Gas, um dieses Gas einfacher berechnen zu können. Es existieren dabei primär drei große Unterschiede zwischen den Gasen. Bei einem idealisierten Gas werden alle Gasteilchen als Massepunkte ohne Ausdehnung angenommen und die Stöße untereinander, beziehungsweise zwischen den Wänden des Gasbehälters sind immer ideal elastische Stoßvorgänge. Weiterhin wird der mittlere Abstand zwischen den Teilchen als sehr viel größer als der Teilchendurchmesser angenommen. Die ideale Gasgleichung wird mit den folgenden Zustandsgleichungen berechnet:
(1.4.1)
Dabei steht n für die Stoffmenge, T für die Temperatur in Kelvin, N für die Teilchenzahl, für die spezifische Gaskonstante und für die Boltzmann-Konstante. Eine weitere Möglichkeit um die Gaskonstante R zu errechnen erhält man, wenn man in die Gleichung (1.2.4) die Gleichungen (1.2.2) und (1.2.3) einsetzt:
(1.4.2)
Wobei für den Adiabatenexponenten steht.
Die adiabatische Zustandsänderung ist ein thermodynamischer Prozess, welcher abläuft ohne einen Wärmeaustausch mit der Umgebung durchzuführen. Dabei ändern sich die drei Größen, Druck, Temperatur und Volumen gleichzeitig, allerdings bleibt:
(1.4.3)
stets konstant. Je nachdem in welche Richtung sich diese Zustandsgrößen ändern, spricht man dabei entweder von einer adiabatischen Expansion oder Kompression. Bei der Expansion erfolgt eine Vergrößerung des Volumens und damit verbunden, eine Ausbreitung des Gases. Im Gegenzug sinkt die innere Energie und der Druck und die Temperatur des Gases verringern sich. Die bei diesem Vorgang entstehende Änderung der inneren Energie , entspricht der vom System verrichteten Arbeit W:
(1.4.4)
Dem entgegen steht die adiabatische Kompression, bei der das Gas komprimiert wird und sich der Druck und die Temperatur erhöhen. Gleichzeitig verrichtet die Umgebung am System eine äußere Arbeit, welche vollständig in innere Energie umgewandelt wird:
(1.4.5)
Die isotherme Zustandsänderung teilt sich, genau wie die adiabatische Änderung, in eine Expansion und Kompression auf. Bei einem isothermen Vorgang bleibt allerdings sowohl die Temperatur, als auch die innere Energie, gleich. Dies erfolgt bei der Expansion durch die Zuführung von Wärme. Das sorgt dafür, dass das Gas expandiert und eine Arbeit verrichtet:
(1.4.6)
Hier steht ebenfalls wieder die Kompression der Expansion entgegen. Bei dieser wird das Volumen kleiner, eine äußere Arbeit verrichtet und die dabei entstehende Wärme abgegeben:
(1.4.7)
1.5. Funktionsweise eines Oszilloskops (Braunsche Röhre)
Das Oszilloskop hat die Aufgabe, über einen bestimmten Zeitraum, periodisch wiederkehrende Spannungssignale grafisch darzustellen. Sie besteht dabei aus einer Kathode (1), einem Wehnelt Zylinder (2), einer Elektronenoptik (3), einer Anode (4), einiger Ablenkplatten (5), einer Leuchtschicht (6) und einem Leuchtpunkt (7). Die Kathode hat dabei die Aufgabe, dem gesamten System die benötigten Elektronen zuzuführen. Anschließend werden die Elektronen durch den Wehnelt Zylinder geschickt, welcher die Dichte und Geschwindigkeit der Elektronen ändert und so die Helligkeit des, auf dem Bildschirm erscheinenden, Leuchtpunktes bestimmt. Dem folgt dann die Elektronenoptik. Diese fokussiert nun die Elektronen, durch ihre Beeinflussung innerhalb eines elektrischen Feldes, und verursacht dadurch eine Schärfung des Strahles, durch eine Verringerung seines Durchmessers. Nun kommt die Anode, die Gegenelektrode zur Kathode, welche die Geschwindigkeit der Elektronen deutlich steigert. Danach folgen noch die Ablenkplatten, die dafür zuständig sind den Strahl so abzulenken, wie man es gerne möchte. Dadurch ist es dann auch möglich, nicht nur einen einzigen Punkt auszugeben, sondern auch Linien oder ein ganzes Bild abzubilden. Am Schluss trifft der Strahl dann auf eine Leuchtschicht, wodurch diese anfängt zu Leuchten und so den Elektronenstrahl für das menschliche Auge sichtbar werden lässt.
1.6. Versuchsaufbau und Widerstandsthermometer
Der, im Versuchsaufbau, vorkommende Lautsprecher wird benötigt, um die notwendigen Schwingungen und damit auch die Wellen zu erzeugen, welche für die Auswertung benötigt werden. Das Mikrofon hat dann die Funktion, diese Wellen zu erfassen und weiterzuleiten. Mit diesen beiden Geräten ist es also möglich, die gewünschte Frequenz einzustellen und die Amplitude, beziehungsweise die Resonanz, abzulesen.
Bei einem Widerstandsthermometer wird, bei einem leitenden Material, eine Spannung angelegt und der dadurch auftretende Widerstand gemessen. Je niedriger die Temperatur ist, desto niedriger ist auch der Widerstand. Wenn die Temperatur nun erhöht wird, dann steigt auch der elektrische Widerstand des Materials an. Dadurch lässt sich dann die Temperatur, basierend auf der Widerstandsänderung, erfassen, beziehungsweise entsprechend umrechnen.
2.1. Volumenrechnung und Zuordnung der Indizes n und s
Zunächst wurde der Innendurchmesser der Hohlkugel d mit einem Messschieber gemessen, dessen Ungenauigkeit mit ± 0,05 mm angegeben ist, und der Innenradius berechnet:
Daraus wurde nun das Kugelvolumen V berechnet, mit der folgenden Formel:
(2.1.1)
Fehlerrechnung:
(2.1.2)
Die Zuordnung der Indizes n und s erfolgte bereits im Messprotokoll.
2.2. Berechnung der Schallgeschwindigkeit in Luft, Argon und Stickstoff
Zur Berechnung der Schallgeschwindigkeiten aus den Frequenzen der (0,2) und (0,3)-Moden für Luft, Argon und Stickstoff wird die Formel (1.3.3) verwendet:
(2.2.1)
Setzt man nun den gemessenen Innenradius sowie die gemessenen Frequenzen ein, so erhalten wir Folgende Werte für die Schallgeschwindigkeiten:
Für Luft:
-(0,2)-Mode:
-(0,3)-Mode:
Für Argon:
-(0,2)-Mode:
-(0,3)-Mode:
Für Stickstoff:
-(0,2)-Mode:
-(0,3)-Mode:
Fehlerrechnung:
Für die konkreten Fehler ergibt sich nun:
Für Luft:
-(0,2)-Mode:
-(0,3)-Mode:
Für Argon:
-(0,2)-Mode:
-(0,3)-Mode:
Für Stickstoff:
-(0,2)-Mode:
-(0,3)-Mode:
Für jedes Gas wir nun der Mittelwert der beiden berechneten Geschwindigkeiten gebildet und der Gesamtfehler ergibt sich aus der Differenz vom Mittelwert und den Messwerte, sowie dem größeren Fehler der beiden berechneten Fehler:
2.3. Berechnung der Gaskonstante R
Zur Berechnung der Gaskonstante R wird die folgende Formel verwendet, wobei T die Temperatur und M die molare Masse von Argon ist:
(2.3.1)
Für die (0,2) und (0,3)-Mode ergibt sich nun:
Fehlerrechnung:
Die Bildung des Mittelwerts erfolgt genau wie bei der Schallgeschwindigkeit:
2.4. Adiabatenexponent von Stickstoff
Den genauen Adiabatenexponent von Stickstoff berechnet man durch:
(2.4.1)
Die Wärmekapazität mit einem konstantem Volumen eines Moleküls mit x Freiheitsgraden mittels:
(2.4.2)
und die Wärmekapazität mit einem konstantem Druck mit:
(2.4.3)
Setzt man nun die die Gleichungen (2.4.2) und (2.4.3) in (2.4.1) ein und berücksichtigt man, dass Stickstoff ein zwei-atomiges Gas mit drei Translation- und zwei Rotationsfreiheitsgraden ist, dann folgt daraus:
Für die Berechnung des Adiabatenexponenten auf Basis der Messwerte wird hingegen die Gleichung (1.3.2) berechnet:
Fehlerrechnung:
Nun verwendet man die Regeln der Fehlerrechnung für Produkte und Quotienten von fehlerhaften Größen, wobei dx der Gesamtfehler von x ist:
Für gilt
(2.4.4)
und für gilt
(2.4.5)
Der Gesamtfehler wird dabei durch die Zusammenrechnung des ermittelten Messfehlers mit der Messunsicherheit der Messgeräte:
(2.4.6)
Setzt man nun die Gleichung (1.4.2) als ein, bekommt man die folgende Formel:
Damit liegt der Wert des Adiabatenexponenten, für die gemessenen Werte, bei:
2.5. Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit
Die Unterschiede der Schallgeschwindigkeit in Luft, sind nur von der Temperatur abhängig. Zur exakten Berechnung der Schallgeschwindigkeit über die Temperaturabhängigkeit wird die Gleichung:
(2.5.1)
verwendet, wobei (Literaturwert) für die Schallgeschwindigkeit bei 0°C, für den Nullpunkt der Celsius-Skala in Kelvin und für den Unterschied der gemessene Temperatur zu in Kelvin. Die errechneten Schallgeschwindigkeitswerte können der Tabelle 1 entnommen werden. Die gemessene Abhängigkeit wird erneut mit der Gleichung (1.3.3):
berechnet. Die restlichen Werte, für die gemessene Temperaturabhängigkeit, können ebenfalls der Tabelle 1 entnommen werden. Aus diesen Rechnungen und Messungen wird nun ersichtlich, dass die Schallgeschwindigkeit c größer wird, je höher die Temperatur der Luft, durch der sich der Schall bewegt, steigt.
Fehlerrechnung:
Hier verwendet man erneut, wie in 2.4, die Fehlerrechnung für Produkte und Quotienten von fehlerhaften Größen und erhält:
Diese Gleichung verwendet man nun für jede Messung und erhält die in der Tabelle angegebenen Unsicherheiten.
|
in °C |
Zu Erwartende Schallgeschwindigkeit in |
Gemessene Schallgeschwindigkeit in |
|
21,5 |
344,30 ± 1,60 |
344,34 ± 0,24 |
|
23,1 |
345,23 ± 1,49 |
344,97 ± 0,24 |
|
25,2 |
346,45 ± 1,37 |
346,65 ± 0,24 |
|
30,1 |
349,29 ± 1,16 |
349,79 ± 0,25 |
|
35,2 |
352,21 ± 1,00 |
352,93 ± 0,25 |
|
40,0 |
354,94 ± 0,89 |
355,02 ± 0,25 |
Tabelle 1: Zu erwartende und gemessene Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit
Abbildung 1: Grafische Darstellung der zu erwarteten und gemessenen Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit
3.1. Diskussion und Vergleich mit Literaturwerten
Vergleicht man die Literarturwerte des Demtröder für die Schallgeschwindigkeit von Luft, und mit dem in diesem Versuch bestimmten Wert , so lassen sich keine größeren Abweichungen vermuten. Dasselbe gilt auch für Argon und Stickstoff: , und . Der in diesem Versuch bestimmt Wert von weicht nur leicht, aber signifikant vom Wert des National Bureau of Standards(NBS), ab. Die geringe Abweichung deutet auf unentdeckte kleine Systematische Fehler hin, wie z.B. beim Radius des Hohlraums oder die bei der Herleitung gemachten Näherungen. In diesem Versuch wurde nur einmal der Innendurchmesser gemessen, während bei der Messung des NBS das Volumen mit geringem Fehler bestimmt wurde, indem der Hohlraum mit Blei gefüllt wurde und mit dem Gewicht und der Dichte des Bleis das Volumen berechnet wurde. Es ist nicht auszuschließen, dass durch den Messschieber größere Fehler als angegeben entstanden sind, oder der Durchmesser der Hohlkugel signifikante Abweichungen aufweist. Des Weiteren könnten Fehler durch das Widerstandsthermometer entstanden sein, da keine Referenzwerte zur Überprüfung zur Verfügung standen. Das Oszilloskop ist als größere Fehlerquelle auszuschließen, da dieser anhand der vom Frequenzgenerator ausgegeben Frequenzen überprüft wurde. Außerdem wurde in der NBS Messung sehr reines Argon verwendet, dessen Molare Masse mit nur kleinem Fehler bestimmt wurde, im Gegensatz zu diesem Versuch, bei dem keine Zusammensetzung des im Hohlraum wirklich vorhandenen Gasgemischs bestimmt wurde und der im Skript angegeben Literaturwert der molaren Masse verwendet wurde, welcher aufgrund der eventuell vorhanden Unreinheit nicht der molaren Masse der vorhanden Gasgemischs entsprechen muss. Zusätzlich wurden in der Messung des NBS alle Moden mit Index von (0,2) bis (0,6) gemessen und für die Berechnung verwendet, wodurch sich aufgrund der größeren Anzahl an Messwerten R besser eingrenzen ließ. Zuletzt wurden bei der Messung des NBS rechnerische Korrekturen vorgenommen, die Fehler bekannter Probleme, wie z.B. die Verschiebung der Resonanzfrequenzen durch Wärmeleitung in die Gefäßwand, reduzieren. Des Weiteren wurde der Adiabatenexponent von Stickstoff bestimmt auf , was nur einer minimalen Abweichung von dem zu erwartenden Wert von 1,4 entspricht. Diese Abweichung kommt vermutlich von den leicht ungenauen Werten aus den vorherigen Messungen, da der Exponent auf diesen aufbaut.
3.2. Verbesserungsmöglichkeiten
Die Aufnahme weiterer Wertepaare würde die Fehlerabweichung verringern und die Präzision der Berechnungen verbessern. Weiterhin würde eine Vorrichtung, welche den Hohlraumresonator gleichmäßiger erwärmt, eine präzisere Messung und damit bessere Messdaten liefern.
In diesem Versuch wurden die Schallgeschwindigkeiten von Luft, Argon und Stickstoff, die Gaskonstante R und der Adiabatenexponent von Stickstoff bestimmt zu:
- Demtröder, W. (2013). Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme (6., neu bearbeitete und aktualisierte Ausg.). Springer-Verlag.
- Meschede, D. (2010). Gerthsen Physik (24. überarbeitete Ausg.). Springer-Verlag.
- Schnabel, P. (kein Datum). Elektronik Kompendium. Abgerufen am 19. September 2014 von Elektronik Kompendium: http://www.elektronik-kompendium.de/sites/grd/0307081.htm
- Sengpielaudio. (kein Datum). Abgerufen am 19. September 2014 von Sengpielaudio: http://www.sengpielaudio.com/Rechner-schallgeschw.htm
- Tipler, P. A. (2000). Physik (3. korrigierte Ausg.). Spektrum Akademischer Verlag.
- Wiese, L. (kein Datum). Uratom. Abgerufen am 20. September 2014 von Uratom: http://uratom.de/Geschwindigkeit.htm
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