Praktikumsprotokoll Wärmeausdehnung

1. Grundlagen

1.1. Versuchseinleitung

Bei dem Versuch Wärmeausdehnung soll die Längenänderung von Kupfer-, Aluminium- und Messingrohren mit einer Längenänderungsmessvorrichtung gemessen werden. Weiterhin soll die Änderung der Länge eines Kupferstabes mittels eines Interferometers ermittelt werden. Aus diesen gewonnen Messdaten soll dann der Längenausdehnungskoeffizent der jeweiligen Materialien bestimmt werden.

1.2. Wärmeausdehnung

Die Wärmeausdehnung beschreibt die Änderung der Länge, des Volumen und des Flächeninhaltes eines Körpers, welche durch eine Veränderung seiner Temperatur verursacht wird. Eine Erhöhung der Temperatur führt dabei zu einer Ausdehnung und ein Absinken zu einem Zusammenziehen. Erzeugt wird dies durch die Schwingung der Atome, innerhalb eines Festkörpers, um ihre Ruhelage . Dabei handelt es sich aber nicht um eine harmonische Schwingung, da bei dieser der Schwingungsmittelpunkt der Atome immer gleich bliebe. Durch diese Schwingung verändert sich nun der Abstand der Atome zueinander. Bei einem geringen Atom-Atom Abstand treten nun große positive Energien auf, welche durch die abstoßende Wechselwirkung zwischen den Elektronenhüllen erzeugt werden. Bei einem größeren Abstand reduziert sich die wirkende Kraft der abstoßenden Wechselwirkung, die Anziehungskräfte fangen an zu überwiegen und die potentielle Energie E wird negativ. Wenn der Abstand zwischen den Atomen nun noch größer, dann hören die Atome auf in Wechselwirkung miteinander zu treten und die potentielle Energie geht gegen null. Führt man nun Wärme zu, dann wird diese von den Atomen als Schwingungsenergie aufgenommen und der eben beschriebene Vorgang beginnt. Die gesamte Energie:

        (1.2.1)

ist dabei unabhängig von r, allerdings nicht unabhängig von der Temperatur T, denn für ein- beziehungsweiße dreidimensionale Schwingungen gilt:

, beziehungsweiße       (1.2.2)

Daraus folgt nun, dass durch eine Temperaturerhöhung die Schwingungsamplitude zwischen den Punkten  und  immer größer wird. Da der Verlauf der potentiellen Energie rechts flacher verläuft als es links der Fall ist, verschiebt sich die mittlere Position ebenfalls nach rechts und dementsprechend dehnt sich der Körper aus. Weiterhin spielt die Wärmeausdehnung auch eine wichtige Rolle in der Meeres- und Luftströmung. Wenn die Temperatur an einem Punkt im Ozean steigt, dann folgt daraus eine Ausdehnung des Wassers und damit auch ein kleiner Anstieg des Meeresspiegels. Dies führt dann zu einem Gefälle innerhalb des Meeresspiegels und zu verschiedenen Dichten an verschiedenen Orten im Gewässer, wodurch sich das Wasser dann in Bewegung setzt uns so eine Ausgleichsströmung entstehen lässt. Ein wenig anders verhält es sich bei der Luft. Diese dehnt sich bei einer Erwärmung ebenfalls aus, wird allerdings durch ihren Dichteverlust leichter als die umgebende Luft und steigt deshalb nach oben. Sie wird dabei durch neue, kältere Luft ersetzt, welche dann die Erdoberfläche abkühlt und sich, bedingt durch die aufgenommene Wärme, ebenfalls ausdehnt.

1.3. Längen- und Volumenausdehnungskoeffizient

Der Längenausdehnungskoeffizient α ist ein materialabhängiger Quotient, welcher sich aus der Temperaturdifferenz  und der Längenänderung  zusammensetzt. Er ist also ein Kennwert, welcher die Längenänderung eines Stoffes bei einer Veränderung der Stofftemperatur angibt. Die Berechnung der Längenänderung eines Stabes erfolgt Näherungsweise mit der Gleichung:

(1.3.1)

wobei  die Ausgangslänge des Stabes ist. Der Volumenausdehnungskoeffizient  ist dem Längenausdehnungkoeffizienten sehr ähnlich, allerdings beschreibt er nicht nur eine Ausdehnung der Länge, sondern des gesamten Volumens eines Materials. Woraus dann auch direkt folgt, dass der Längenausdehnungskoeffizent ein Teil des Volumenausdehnungskoeffizient ist, denn wenn sich die Länge ändert, dann ändert sich auch das Volumen eines Körpers. Er wird ebenfalls Näherungsweise errechnet und das mit der Gleichung:

       (1.3.2)

Sie gilt dabei nur für isotrope Festkörper, welche sich in alle Richtungen gleich ausdehnen.

1.4. Thermometerarten

Das Flüssigkeitsthermometer besteht aus einem durchsichtigen Kapillar-Röhrchen mit einer Skalenanzeige. In dieses Röhrchen wird dann eine thermometrische Flüssigkeit gefüllt, welche sich deutlich stärker ausdehnt als das Material, aus dem die Kapillare besteht. Wenn nun die Temperatur steigt, dann dehnt sich die Flüssigkeit, im Gegensatz zum Röhrchen, sichtbar aus und mittels der Skalenanzeige, kann man dann die Temperatur ablesen. Bei dem Widerstandsthermometer hingegen wird die Temperatur anhand eines elektrischen Widerstandes gemessen. Dazu wird durch ein leitendes Material ein Strom geschickt und der im Material auftretende, elektrische Widerstand gemessen. Dieser Widerstand ist dabei direkt von der Temperatur abhängig. Bei niedrigen Temperaturen wird er kleiner und mit steigender Temperatur immer größer. Nun ist es möglich den Widerstand auf die Temperatur umzurechnen und diese so zu messen. Beim Bimetallthermometer werden zwei unterschiedliche Metalle, mit unterschiedlichen Wärmeausdehnungskoeffizienten, fest miteinander verbunden. Findet nun eine Temperaturänderung statt, dann dehnen sich die beiden Streifen unterschiedlich stark aus, was so zu einer Krümmung des Thermometers führt. Über diese Krümmung, beziehungsweise des dadurch entstehenden Winkels, kann nun, mittels einer Skala, die Temperatur abgelesen werden.

1.5. Interferenzen und kohärentes Licht

Wenn sich verschiedene Wellen gegenseitig überlagern, dann führt dies zu einer Änderung ihrer Amplituden und man nennt diesen Effekt Interferenz. Es wird dabei zwischen der konstruktiven und der destruktiven Interferenz unterschieden. Bei der konstruktiven Interferenz werden zwei oder mehr harmonischen Wellen, welche die gleiche Wellenlänge, Frequenz und Phase besitzen, miteinander addiert. Dadurch erhält man eine neue harmonische Welle, deren resultierende Amplitude der Summe der jeweiligen einzelnen Wellen entspricht. Bei der destruktiven Interferenz treffen sich ebenfalls zwei oder mehr Wellen, welche sich allerdings in Gegenphase befinden und sich deshalb miteinander subtrahieren. Die resultierende Amplitude der nun entstehenden Welle, entspricht dabei der Differenz der Einzelamplituden und wird bei gleicher Intensität der sich treffenden Welle gleich null. Bei Licht unterscheidet man zwischen zwei Arten, dem zeitlich kohärenten und dem räumlich kohärenten Licht. Dabei beschreibt die Kohärenz zwei Wellenzüge, welche untereinander über eine feste Phasenbeziehung verfügen. Eine gleiche Phase ist dabei allerdings nicht notwendig. Bei dem zeitlich kohärenten Licht ist nun die Phasenbeziehung zwischen den Wellenzügen einer Welle immer gleich und ändert sich auch nicht. Hingegen kann sich bei dem räumlich kohärenten Licht die Phasenbeziehung zwischen den Wellenzügen ändern. Allerdings bleibt hier nun die Phasenbeziehung zwischen den Wellenzügen verschiedener Wellen zueinander immer gleich. Wenn ein Lichtstrahl beide Kriterien erfüllt, dann ist es eine zeitlich und räumlich kohärente Lichtwelle.

1.6. Michelson-Interferometer

Das Michelson-Interferometer wird unter anderem dazu verwendet, um eine sehr genaue Messung von Längenänderungen vorzunehmen. Es besteht, wie in Abbildung 2 zu sehen, aus einer Lichtquelle mit kohärentem Licht, zwei Spiegeln, einem halbdurchlässigen Spiegel und einen Detektor. Die Lichtquelle hat nun die Aufgabe, einen kohärenten Lichtstrahl zu erzeugen und ihn zu dem halbdurchlässigen Spiegel zu schicken. Dort wird das Licht in zwei Teilstrahlen geteilt und jeweils eine zu jedem Spiegel geschickt. Auf dem Weg zu den Spiegeln, durchlaufen die beiden Strahlen unterschiedlich lange Wege oder verschiedenartige Medien, was zu einer Phasenverschiebung zwischen den Wellen führt. Nach dem Auftreffen auf den Spiegeln, werden sie dort reflektiert, bewegen sich zu dem halbdurchsichtigen Spiegel zurück und treffen sich da dann wieder. Bei diesem Zusammentreffen der beiden Strahlen entsteht nun eine Interferenz. Die daraus resultierende Welle wird dann weiter zum Detektor geschickt, der dann die Intensität der Welle misst. Damit können selbst kleinste Veränderungen des Gangunterschieds der Wellen gemessen werden, welche durch eine Änderung des Abstandes erzeugt werden, und so schließlich die Längenänderung sehr genau bestimmen. Die Genauigkeit der Messung liegt dabei circa bei der halben Wellenlänge des verwendeten Lichtes.

2. Auswertung

2.1. Ausdehnungskoeffizient α für Messing, Kupfer und Aluminium

Die relevanten Längen  der Metallrohre (Messing, Kupfer und Aluminium) wurden an der Längenänderungsmessvorrichtung (Lämv) gemessen, da nur Längenänderungen zwischen der Einspannvorrichtung und der Rolle auf der die Rohre aufliegen erfasst werden. Die Länge wurde mit einem Metermaß (Fehler ) gemessen und ist für alle Rohre gleich, somit ist die Ausgangslänge der drei Rohre . Der Luftdruck p wurde mit einem Barometer gemessen, zu , was nach Literaturwerten bedeutet, dass die Siedetemperatur  von Wasser zwischen 98,50 °C und 99,07 °C liegt und deshalb im Folgenden als  angenommen wird. Mit der zu Anfang mit einem Thermometer gemessenen Temperatur  ergibt sich eine Temperaturdifferenz von  (Für Differenzen sind °C und K gleichbedeutend). Für jedes Metallrohr wurde jeweils dreimal die Längenänderung bei Erwärmung durch den Wasserdampf gemessen, wobei für jede Messung die  Ungenauigkeit beim Ablesen der Werte  mit  angenommen wird. Für jedes Rohr wurde der Mittelwert der drei gemessenen Werte gebildet, wobei sich der Fehler für den Mittelwert aus dem zufälligen Fehler (größte Differenz zwischen Messwert und Mittelwert) und dem systematischen Fehler zusammensetzt. Für die drei Rohre erhalten wir nun die folgenden Werte:

Diese Werte entsprechen der am Zeiger der Lämv angezeigten Längenänderung, welche aber nicht gleich den tatsächlichen Längenänderungen der Rohre ist. Da sich die Rolle und der Zeiger aber um den gleichen Winkel drehen, kann das Verhältnis zwischen angezeigter und tatsächlicher Längenänderung folgendermaßen beschreiben:

                (2.1.1)

, wobei l für die Längenänderung und r für den Radius steht, und der Index angibt, ob die Größe zu der Rolle(R), oder dem Zeiger(Z) gehört. Die Radien, bzw. Durchmesser wurden mit einem Messschieber gemessen zu,  und . Setzt man nun (2.1.1) in (1.2.1) ein, so erhält man die Gleichung:

         (2.1.2)

Es ergeben sich also insgesamt für die drei Metalle folgende Messwerte:

2.2. Bestimmung des Ausdehnungskoeffizient α mit dem Interferometer

Für das am Michelson-Interferometer auftretende Interferenzbild wurde bei jedem fünften Maximum die Temperatur des Kupferstabes gemessen. Trägt man nun die Nummer der Maxima über die Temperatur auf, erhält man folgendes Diagramm.

Für die Steigung der Näherungsgeraden bei Erwärmung ergibt sich  und bei Abkühlung . Ein Maximum bedeutet, dass sie die Laufstrecke des Lasers um eine Wellenlänge verkürzt hat, da der Weg aber auf Hin- und Rückweg verkürzt wird bedeutet dies, dass sich der Kupferstab um eine halbe Wellenlänge ausgedehnt hat. Multipliziert man nun die Steigung mit der relativen Längenänderung erhält man den Ausdehnungskoeffizienten:

Fehlerrechnung:

Damit folgen nun diese Werte:

Quellenverzeichnis

1. Demtröder, W. (2013). Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme (6., neu bearbeitete und aktualisierte Ausg.). Springer-Verlag.
2. Florian. (kein Datum). Wikipedia. Abgerufen am 26. September 2014 von Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Michelson-Interferometer
3. Föll, H. (kein Datum). Christian-Albrechts-Universität zu Kiel. Abgerufen am 26. September 2014 von Christian-Albrechts-Universität zu Kiel: http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw_for_et/kap_2/backbone/r2_1_3.html
4. Grimm, H. (kein Datum). wissenschaft-technik-ethik. Abgerufen am 27. September 2014 von wissenschaft-technik-ethik: http://www.wissenschaft-technik-ethik.de/wasser_dampfdruck.html
5. Meschede, D. (2010). Gerthsen Physik (24. überarbeitete Ausg.). Springer-Verlag.
6. Tipler, P. A. (2000). Physik (3. korrigierte Ausg.). Spektrum Akademischer Verlag.

Messprotokoll